Реши задание на изображении

Пришли, пожалуйста, изображение ещё раз или перепиши условия вопросов 1 и 2 — в текущем чате их текста не видно.

Это продолжение текущего задания: на изображении находятся вопросы 1 и 2, которые ты просил решить.

1. Какой многоугольник называется выпуклым?

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, содержащей его сторону.

Углы выпуклого многоугольника — это внутренние углы, образованные двумя соседними сторонами. Каждый из них меньше \(180^\circ\).

2. Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника

Проведём из одной вершины диагонали ко всем несоседним вершинам. Они разделят многоугольник на \(n-2\) треугольника.

Так как сумма углов каждого треугольника равна \(180^\circ\), получаем:

\[ \boxed{S=(n-2)\cdot 180^\circ} \]

где \(S\) — сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника.

3. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Пусть \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\) — внутренние углы, а \(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\) — внешние углы многоугольника.

Так как каждый внутренний и соответствующий ему внешний угол в сумме дают \(180^\circ\),

\[ \beta_i=180^\circ-\alpha_i. \]

Тогда

\[ \begin{aligned} \beta_1+\ldots+\beta_n &=n\cdot180^\circ-(\alpha_1+\ldots+\alpha_n)\\ &=n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ\\ &=360^\circ. \end{aligned} \]

Ответ: сумма внешних углов равна \(360^\circ\).

---

4. Четырёхугольник

Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\), вершины которого записаны по порядку.

• Диагонали: \(AC\) и \(BD\);
• противоположные стороны: \(AB\) и \(CD\), \(BC\) и \(AD\);
• противоположные вершины: \(A\) и \(C\), \(B\) и \(D\).

---

5. Сумма углов выпуклого четырёхугольника

По формуле суммы углов выпуклого \(n\)-угольника:

\[ S=(n-2)\cdot180^\circ. \]

При \(n=4\):

\[ S=(4-2)\cdot180^\circ=360^\circ. \]

Ответ: \(360^\circ\).

---

6. Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны:

\[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \]

Да, параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

---

7. Свойства параллелограмма

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм. Проведём диагональ \(AC\).

Так как \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\), то

\[ \angle BAC=\angle DCA,\qquad \angle BCA=\angle DAC. \]

Кроме того, \(AC\) — общая сторона. Поэтому

\[ \triangle ABC=\triangle CDA \]

по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Отсюда:

\[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]

Следовательно, противоположные стороны параллелограмма равны.

Из равенства треугольников:

\[ \angle ABC=\angle CDA. \]

Смежные углы параллелограмма supplementary, поэтому

\[ \angle A=\angle C. \]

Итак, в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

---

8. Диагонали параллелограмма

Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).

Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\).

• \(AB=CD\) — противоположные стороны параллелограмма;
• \(\angle BAO=\angle DCO\);
• \(\angle ABO=\angle CDO\).

Следовательно,

\[ \triangle AOB=\triangle COD. \]

Поэтому

\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

---

9. Признаки параллелограмма

Первый признак

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть

\[ AB=CD,\qquad AB\parallel CD. \]

Проведём диагональ \(AC\). Тогда

\[ \angle BAC=\angle DCA. \]

В треугольниках \(ABC\) и \(CDA\):

• \(AB=CD\);
• \(AC\) — общая сторона;
• \(\angle BAC=\angle DCA\).

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

\[ \angle BCA=\angle CAD. \]

Это накрест лежащие углы, поэтому

\[ BC\parallel AD. \]

Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Второй признак

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом.

Пусть

\[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]

В треугольниках \(ABC\) и \(CDA\):

\[ AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC=AC. \]

Треугольники равны по трём сторонам. Поэтому

\[ \angle BAC=\angle DCA,\qquad \angle BCA=\angle CAD. \]

Следовательно,

\[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \]

Значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

Третий признак

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\), причём

\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

Вертикальные углы равны, поэтому

\[ \triangle AOB=\triangle COD. \]

Отсюда соответствующие углы равны, значит,

\[ AB\parallel CD. \]

Аналогично, из равенства треугольников \(AOD\) и \(COB\) получаем

\[ AD\parallel BC. \]

Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

---

10. Трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

---

11. Виды трапеций

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. В такой трапеции два прямых угла.

---

12. Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

То есть

\[ \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ. \]

---

13. Диагонали прямоугольника

Пусть \(ABCD\) — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(BAD\):

• \(AB\) — общая сторона;
• \(BC=AD\) — противоположные стороны параллелограмма;
• \(\angle ABC=\angle BAD=90^\circ\).

Следовательно,

\[ \triangle ABC=\triangle BAD \]

по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда соответствующие стороны равны:

\[ AC=BD. \]

Диагонали прямоугольника равны.

---

14. Прямоугольник по диагоналям

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм и

\[ AC=BD. \]

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(BAD\):

\[ AB=AB,\qquad BC=AD,\qquad AC=BD. \]

Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому

\[ \angle ABC=\angle BAD. \]

Эти углы — смежные, поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Так как они равны, каждый из них равен \(90^\circ\).

Следовательно, параллелограмм имеет прямой угол, то есть является прямоугольником.

---

15. Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

\[ AB=BC=CD=DA. \]

---

16. Диагонали ромба

Пусть \(ABCD\) — ромб, а \(O\) — точка пересечения диагоналей.

Так как ромб является параллелограммом,

\[ AO=OC. \]

Кроме того,

\[ AB=BC. \]

В треугольниках \(AOB\) и \(COB\):

\[ AO=OC,\qquad OB=OB,\qquad AB=BC. \]

Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому

\[ \angle AOB=\angle BOC. \]

Эти углы смежные, значит, каждый равен \(90^\circ\). Следовательно,

\[ AC\perp BD. \]

Чтобы доказать свойство биссектрис, рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\):

\[ AB=AD,\qquad BC=CD,\qquad AC=AC. \]

Они равны, поэтому

\[ \angle BAC=\angle CAD. \]

Значит, диагональ \(AC\) делит углы \(A\) и \(C\) пополам.

Аналогично диагональ \(BD\) делит пополам углы \(B\) и \(D\).

---

17. Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Основные свойства квадрата:

• все стороны равны;
• противоположные стороны параллельны;
• все углы прямые;
• диагонали равны;
• диагонали перпендикулярны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• диагонали делят углы пополам.

---

18. Признаки квадрата

Первый признак

Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Пусть \(ABCD\) — прямоугольник, \(AC\perp BD\), а \(O\) — точка пересечения диагоналей.

Так как диагонали прямоугольника делятся пополам,

\[ AO=OC. \]

Треугольники \(AOB\) и \(COB\) равны по двум сторонам и углу между ними:

\[ AO=OC,\qquad OB=OB,\qquad \angle AOB=\angle BOC=90^\circ. \]

Значит,

\[ AB=BC. \]

У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому все его стороны равны. Следовательно, это квадрат.

Второй признак

Если у ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Пусть \(ABCD\) — ромб и

\[ AC=BD. \]

Треугольники \(ABC\) и \(BAD\) равны по трём сторонам:

\[ AB=AB,\qquad BC=AD,\qquad AC=BD. \]

Значит,

\[ \angle ABC=\angle BAD. \]

Эти углы смежные, поэтому оба равны \(90^\circ\). Ромб с прямым углом является квадратом.

---

19. Признаки ромба

Первый признак

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, \(AC\perp BD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей.

Так как диагонали параллелограмма делятся пополам,

\[ AO=OC. \]

Треугольники \(AOB\) и \(COB\) имеют:

\[ AO=OC,\qquad OB=OB,\qquad \angle AOB=\angle COB=90^\circ. \]

Следовательно,

\[ AB=BC. \]

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому все четыре стороны равны. Значит, это ромб.

Второй признак

Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм является ромбом.

Пусть диагональ \(AC\) делит угол \(DAB\) пополам:

\[ \angle DAC=\angle CAB. \]

Так как \(AD\parallel BC\),

\[ \angle DAC=\angle ACB. \]

Значит,

\[ \angle CAB=\angle ACB. \]

В треугольнике \(ABC\) равны углы при \(A\) и \(C\), поэтому

\[ AB=BC. \]

У параллелограмма противоположные стороны равны, следовательно, все четыре стороны равны. Значит, параллелограмм является ромбом.

---

20. Симметричные точки

Точки \(A\) и \(A'\) называются симметричными относительно точки \(O\), если точка \(O\) является серединой отрезка \(AA'\):

\[ A,O,A'\text{ лежат на одной прямой},\qquad OA=OA'. \]

---

21. Симметричная фигура

Фигура называется симметричной относительно точки \(O\), если для каждой её точки симметричная ей относительно \(O\) точка также принадлежит этой фигуре.

Точка \(O\) называется центром симметрии.

---

22. Примеры фигур

а) С осевой симметрией:

• равнобедренный треугольник;
• прямоугольник;
• круг.

б) С центральной симметрией:

• параллелограмм;
• прямоугольник;
• круг.

в) И с осевой, и с центральной симметрией:

• квадрат;
• прямоугольник;
• круг.