Напиши ответы на вопросы
Краткие ответы
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ. \]
Внешний угол треугольника — угол, смежный с внутренним углом треугольника. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — прямой или тупой.
Остроугольный треугольник — треугольник, у которого все углы острые.
Тупоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол тупой.Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона напротив прямого угла — гипотенузой.
- Против большей стороны лежит больший угол.
- Против большего угла лежит большая сторона.
- Текст вопроса на фото обрезан. Если продолжение: «гипотенуза больше каждого из катетов», то это верно.
Ключевые доказательства
1. Сумма углов треугольника
Проведём через вершину \(A\) прямую, параллельную стороне \(BC\).
Углы, образованные этой прямой со сторонами \(AB\) и \(AC\), равны углам \(B\) и \(C\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых.
Три получившихся угла образуют развернутый угол, поэтому их сумма равна \(180^\circ\):
\[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ. \]
2. Внешний угол
Пусть сторону \(AB\) продолжили за точку \(B\) до точки \(D\). Тогда \(\angle CBD\) — внешний угол.
Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle CBD+\angle B=180^\circ. \]
По теореме о сумме углов треугольника:
\[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ. \]
Следовательно,
\[ \angle CBD=\angle A+\angle C. \]
Значит, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
3. Виды треугольников по углам
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
Два угла не могут быть прямыми или тупыми одновременно, потому что тогда их сумма была бы не меньше \(180^\circ\), а третий угол тоже больше \(0^\circ\).
Поэтому:
- если нет прямого или тупого угла, все три угла острые;
- если один угол прямой или тупой, два остальных угла острые.
6. Связь между сторонами и углами
1) Против большей стороны лежит больший угол
Пусть в треугольнике \(ABC\)
\[ AB>AC. \]
На стороне \(AB\) выберем точку \(D\) так, чтобы
\[ AD=AC. \]
Треугольник \(ACD\) равнобедренный, поэтому
\[ \angle ACD=\angle CDA. \]
Угол \(\angle CDA\) — внешний угол треугольника \(BCD\), значит,
\[ \angle CDA>\angle B. \]
Кроме того, угол \(C\) состоит из углов \(\angle ACD\) и \(\angle BCD\), поэтому
\[ \angle C>\angle ACD. \]
Следовательно,
\[ \angle C>\angle B. \]
Значит, против большей стороны \(AB\) лежит больший угол \(C\).
2) Против большего угла лежит большая сторона
Пусть
\[ \angle C>\angle B. \]
Если бы \(AB=AC\), то углы \(B\) и \(C\) были бы равны, что невозможно.
Если бы \(AB<AC\), то по доказанному утверждению угол \(B\) был бы больше угла \(C\), что тоже невозможно.
Следовательно,
\[ AB>AC. \]
7. Гипотенуза больше каждого катета
Пусть треугольник \(ABC\) прямоугольный, причём
\[ \angle C=90^\circ. \]
Сторона \(AB\), лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой. Углы \(A\) и \(B\) острые, поэтому
\[ \angle C>\angle A,\qquad \angle C>\angle B. \]
По доказанной теореме против большего угла лежит большая сторона. Значит,
\[ AB>BC,\qquad AB>AC. \]
Следовательно, гипотенуза больше каждого из катетов.
Текст № 7 на фото обрезан: после слова «гипотенуза» продолжение не видно. В нём действительно написано «больше каждого из катетов»?
