В равнобедренном треугольнике биссектриса угол проведенная к основанию треугольника является медианой и высотой треугольника
Краткий ответ: да. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой.
Пусть \(ABC\) — равнобедренный треугольник, \(AB=AC\), а \(AD\) — биссектриса угла \(A\), причём \(D\in BC\).
Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\):
- \(AB=AC\) — боковые стороны равнобедренного треугольника;
- \(AD\) — общая сторона;
- \(\angle BAD=\angle DAC\) — \(AD\) является биссектрисой.
Значит, \(\triangle ABD=\triangle ACD\) по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует: \[ BD=DC. \] Значит, точка \(D\) — середина основания \(BC\), поэтому \(AD\) — медиана.
Также равны углы: \[ \angle ADB=\angle CDA. \] Они смежные и в сумме дают \(180^\circ\), значит каждый из них равен \(90^\circ\): \[ AD\perp BC. \] Следовательно, \(AD\) — высота.
Проверка: медиана делит сторону пополам, а высота перпендикулярна стороне — оба условия выполнены.
Обсуждение
2 сообщенияНачертить треугольник по этому заданию
Начерти любой равнобедренный треугольник, например так:
- Проведи основание \(BC=6\) см.
- Найди его середину \(D\), чтобы
\[ BD=DC=3\text{ см}. \] - Через точку \(D\) проведи перпендикуляр к \(BC\).
- На перпендикуляре отложи \(AD=4\) см и поставь точку \(A\).
- Соедини \(A\) с \(B\) и \(C\).
Получится схема:
A
/|\
/ | \
/ | \
B---D---C
⟂
AD ⟂ BC
Здесь \(AD\) — биссектриса, медиана и высота: \[ BD=DC,\qquad AD\perp BC. \]
