Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Вычисли выражения

1. \(4! = 24\)
2. \(C(5,2) = 10\)
3. \(\dfrac{6!}{4!} = 30\)
4. \(C(7,3) = 35\)
5. \(5!:2 = 60\)

2. Ответь на вопросы

1. \(7! = 5040\)
2. Выбрать 2 предмета из 9 можно 36 способами.
3. \(C(5,0)=1\)
4. 4 разных стула можно расставить в ряд 24 способами.

3. Перестановки и факториал

1. \(7! = 5040\)
2. \(5! = 120\)
3. \(8!:6! = 56\)
4. \(7!:(5!\cdot2!) = 21\)

Задачи:

1. 5 разных книг можно расставить на полке 120 способами.
2. 4 участника могут занять 4 разных места 24 способами.

Ключевые шаги

Факториал числа:

\[ n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n \]

Например:

\[ 4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24, \qquad 7!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7=5040. \]

При делении факториалов удобно сокращать:

\[ \frac{6!}{4!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=5\cdot6=30, \]

\[ \frac{8!}{6!}=8\cdot7=56. \]

Число сочетаний вычисляется по формуле:

\[ C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Поэтому:

\[ C(5,2)=\frac{5!}{2!\cdot3!} =\frac{120}{2\cdot6}=10, \]

\[ C(7,3)=\frac{7!}{3!\cdot4!} =\frac{5040}{6\cdot24}=35, \]

\[ C(9,2)=\frac{9!}{2!\cdot7!} =\frac{9\cdot8}{2}=36. \]

Если \(n\) разных предметов нужно расположить в ряд, используется \(n!\):

\[ 4!=24,\qquad 5!=120. \]

Также \(0!=1\), поэтому:

\[ C(5,0)=\frac{5!}{0!\cdot5!}=1. \]