Реши эту задачу

Краткий ответ:
а) \(h=5\ \text{дм}\);
б) \(d=3\ \text{см}\).

Основная идея

Мысленно спроецируем отрезок \(AB\) на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра. Получится хорда \(A_1B_1\) окружности радиуса \(r\).

Расстояние от центра окружности до хорды равно \(d\), поэтому:

\[ A_1B_1=2\sqrt{r^2-d^2}. \]

По теореме Пифагора для отрезка \(AB\):

\[ AB^2=h^2+A_1B_1^2. \]

Следовательно,

\[ AB^2=h^2+4(r^2-d^2). \]

а) Найдём \(h\)

\[ 13^2=h^2+4(10^2-8^2), \]

\[ 169=h^2+4\cdot36=h^2+144, \]

\[ h^2=25,\qquad h=5\ \text{дм}. \]

б) Найдём \(d\)

\[ 10^2=6^2+4(5^2-d^2), \]

\[ 100=36+4(25-d^2), \]

\[ 100=136-4d^2, \]

\[ 4d^2=36,\qquad d^2=9, \]

\[ d=3\ \text{см}. \]

Проверка:

\[ 5^2+4(10^2-8^2)=25+144=169=13^2; \]

\[ 6^2+4(5^2-3^2)=36+64=100=10^2. \]