Ответ

Ответ: \[ \boxed{(a,b,c)=(127,127,127)\quad\text{или}\quad(380,380,-379)}. \]

Решение

Приравняем первые два выражения: \[ a^2+b^2+c=b^2+c^2+a. \] После упрощения: \[ a^2-c^2+c-a=0, \] \[ (a-c)(a+c-1)=0. \] Значит, \[ a=c \quad\text{или}\quad a+c=1. \]

Теперь приравняем второе и третье выражения: \[ b^2+c^2+a=c^2+a^2+b. \] Получаем: \[ (a-b)(a+b-1)=0. \] Значит, \[ a=b \quad\text{или}\quad a+b=1. \]

Разбираем случаи

1. \(a=c\).

Так как \(a\ge b\ge c\), то тогда \[ a=b=c. \] Из условия \(a+b+c=381\): \[ 3a=381,\qquad a=127. \] Получаем: \[ (127,127,127). \]

2. \(a+c=1\) и \(a=b\).

Тогда \[ 2a+c=381. \] Вычитая \(a+c=1\), получаем: \[ a=380,\qquad c=1-380=-379. \] Следовательно: \[ (380,380,-379). \]

3. \(a+c=1\) и \(a+b=1\).

Тогда \(b=c\). Из суммы: \[ a+2b=381,\qquad a+b=1. \] Отсюда \(b=380,\ a=-379\), но это противоречит условию \(a\ge b\). Поэтому случай не подходит.

Проверка

Для \((380,380,-379)\): \[ 380+380-379=381, \] а каждое из трёх выражений равно \[ 380^2+380^2-379=288421. \]

Итак, \[ \boxed{(127,127,127),\ (380,380,-379)}. \]