реши 1 вариант полностью

Краткий ответ

1. \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-2;2]\).
2. Функция \(y=\sin x-\tg x\) — нечётная,
   \(D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\right\}\).
3. График \(y=\sin x+1\) — график синуса, сдвинутый вверх на \(1\).
4. \[ y_{\max}=\frac52,\qquad y_{\min}=-\frac12. \]
5. График \(y=0{,}5\cos x-2\) — косинусоида с амплитудой \(0{,}5\), сдвинутая вниз на \(2\).
   Функция возрастает при \[ x\in(\pi+2\pi k;\,2\pi+2\pi k),\qquad k\in\mathbb Z. \]

Решение

1. Область определения и множество значений

Дана функция:

\[ y=2\cos x. \]

Косинус определён при любых действительных \(x\), поэтому

\[ D(y)=\mathbb R. \]

Так как

\[ -1\le \cos x\le 1, \]

умножим неравенство на \(2\):

\[ -2\le 2\cos x\le 2. \]

Следовательно,

\[ E(y)=[-2;2]. \]

Значения \(-2\) и \(2\) достигаются, поэтому ответ точный.

---

2. Чётность функции

\[ y=\sin x-\tg x. \]

Сначала найдём область определения. Тангенс не существует, когда

\[ \cos x=0, \]

то есть при

\[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Поэтому

\[ D(y)=\mathbb R\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\right\}. \]

Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим значение функции при \(-x\):

\[ f(-x)=\sin(-x)-\tg(-x). \]

Так как синус и тангенс — нечётные функции,

\[ \sin(-x)=-\sin x,\qquad \tg(-x)=-\tg x. \]

Тогда

\[ f(-x)=-\sin x+\tg x =-(\sin x-\tg x) =-f(x). \]

Следовательно, функция является нечётной.

---

3. График функции \(y=\sin x+1\)

График \(y=\sin x+1\) получаем из графика \(y=\sin x\) сдвигом вверх на \(1\).

Основные точки на отрезке \(\left[-\frac{\pi}{2};2\pi\right]\):

\[ \begin{array}{c|cccccc} x&-\frac{\pi}{2}&0&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi\\ \hline y=\sin x+1&0&1&2&1&0&1 \end{array} \]

Нужно отметить точки

\[ \left(-\frac{\pi}{2};0\right),\quad (0;1),\quad \left(\frac{\pi}{2};2\right),\quad (\pi;1), \]

\[ \left(\frac{3\pi}{2};0\right),\quad (2\pi;1) \]

и плавно соединить их синусоидой.

Наибольшее значение на данном отрезке равно \(2\), наименьшее — \(0\).

---

4. Наибольшее и наименьшее значения

\[ y=3\sin x\cos x+1. \]

Используем формулу

\[ \sin 2x=2\sin x\cos x, \]

откуда

\[ \sin x\cos x=\frac12\sin 2x. \]

Тогда

\[ y=3\cdot\frac12\sin 2x+1 =\frac32\sin 2x+1. \]

Так как

\[ -1\le \sin 2x\le 1, \]

получаем

\[ -\frac32\le \frac32\sin 2x\le \frac32. \]

Прибавим \(1\):

\[ -\frac12\le y\le \frac52. \]

Следовательно,

\[ \boxed{y_{\min}=-\frac12},\qquad \boxed{y_{\max}=\frac52}. \]

Проверка условий достижения:

• максимум при \(\sin 2x=1\), то есть \[ x=\frac{\pi}{4}+\pi k; \]

• минимум при \(\sin 2x=-1\), то есть \[ x=\frac{3\pi}{4}+\pi k, \] где \(k\in\mathbb Z\).

---

5. График и промежутки возрастания

\[ y=0{,}5\cos x-2. \]

Это график \(y=\cos x\):

• с амплитудой \(0{,}5\);
• с периодом \(2\pi\);
• сдвинутый вниз на \(2\).

Множество значений:

\[ -2{,}5\le y\le -1{,}5. \]

Основные точки одного периода:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi\\ \hline y&-1{,}5&-2&-2{,}5&-2&-1{,}5 \end{array} \]

График проходит через точки

\[ (0;-1{,}5),\quad \left(\frac{\pi}{2};-2\right),\quad (\pi;-2{,}5), \]

\[ \left(\frac{3\pi}{2};-2\right),\quad (2\pi;-1{,}5) \]

и повторяется через \(2\pi\).

Найдём промежутки возрастания с помощью производной:

\[ y'=-0{,}5\sin x. \]

Функция возрастает, когда

\[ y'>0, \]

то есть

\[ -0{,}5\sin x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x<0. \]

Синус отрицателен на промежутках

\[ \boxed{x\in(\pi+2\pi k;\,2\pi+2\pi k)},\qquad k\in\mathbb Z. \]