Реши задание на изображении
Вычисление операций со степенями
Я работаю с произведениями и степенями, начиная с нескольких вычислений. Например, \((-2)(-1) = 2\) — это просто. Затем \(10^{-7}/10^{-5} = 10^{-2} = 1/100\), что выглядит правильно.
Далее я вычисляю \(2^{-3} + 3^{-2} = 17/72\). Затем для \((2^{-5})^2 / 2^{-7}\) я упрощаю выражение до \(1/8\).
В Task 2 я работаю со степенями, например \(3b^{-2} = 3/b^2\), и учитываю, что \(z\) не должен быть равен нулю для отрицательных степеней. Task 3 включает сохранение отрицательной степени в выражении \((2/3)^{-2} m^{-2} = 9/(4m^2)\). Мне нужно упомянуть ограничения на ненулевые значения переменных. Я также планирую предоставить краткое резюме с быстрым выполнением каждого шага. [[NEXT]]
Рассмотрение выражения на изображении
Я внимательно рассматриваю выражение на изображении в Task 3: \(\left(\frac{2}{3}m\right)^{-2}\). Кажется, что после знаменателя дроби находится небольшой символ, похожий на m, но я не уверен, не пропущен ли какой-либо оператор.
Если мысленно увеличить изображение, я начинаю думать, что на самом деле это может быть \((\frac{2}{3} - m)^{-2}\), что является типичным примером с отрицательной степенью. Мне следует внимательно исследовать это выражение.
Краткий ответ
Задание 1
а) \(8^7\cdot 8^{-9}=\dfrac1{64}\);
б) \(4^{-3}\cdot 2^5=\dfrac12\);
в) \((5^{-2})^{-1}=25\);
г) \(\dfrac{10^{-7}}{10^{-5}}=\dfrac1{100}\);
д) \(2^{-3}+3^{-2}=\dfrac{17}{72}\);
е) \(\dfrac{(2^{-5})^2}{2^{-7}}=\dfrac18\).
Задание 2
а) \(3b^2\cdot b^{-4}=\dfrac{3}{b^2}\);
б) \((5z)^3\cdot z^{-2}=125z\);
в) \(4t^{-2}\cdot\dfrac{3}{16}t^7=\dfrac34t^5\).
Задание 3
а) \(\left(\dfrac23m\right)^{-2}=\dfrac{9}{4m^2}\);
б) \((2{,}5n)^{-2}=\dfrac{4}{25n^2}\);
в) \(\left(\dfrac{5}{7t}\right)^{-2}=\dfrac{49t^2}{25}\).
Ключевые правила
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \]
\[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
Задание 1
а)
\[ 8^7\cdot8^{-9}=8^{7+(-9)}=8^{-2}=\frac1{8^2}=\frac1{64}. \]
б) Представим \(4\) как \(2^2\):
\[ 4^{-3}\cdot2^5=(2^2)^{-3}\cdot2^5 =2^{-6}\cdot2^5=2^{-1}=\frac12. \]
в)
\[ (5^{-2})^{-1}=5^{(-2)\cdot(-1)}=5^2=25. \]
г)
\[ \frac{10^{-7}}{10^{-5}} =10^{-7-(-5)}=10^{-2}=\frac1{100}. \]
д) Отрицательные степени заменяем дробями:
\[ 2^{-3}+3^{-2}=\frac18+\frac19 =\frac9{72}+\frac8{72} =\frac{17}{72}. \]
е)
\[ \frac{(2^{-5})^2}{2^{-7}} =\frac{2^{-10}}{2^{-7}} =2^{-10-(-7)} =2^{-3}=\frac18. \]
Задание 2
а)
\[ 3b^2\cdot b^{-4}=3b^{2-4} =3b^{-2}=\frac3{b^2}. \]
б)
\[ (5z)^3\cdot z^{-2} =5^3z^3\cdot z^{-2} =125z^{3-2}=125z. \]
в)
\[ 4t^{-2}\cdot\frac3{16}t^7 =\frac{12}{16}t^{-2+7} =\frac34t^5. \]
Задание 3
При отрицательном показателе дробь переворачивается:
\[ \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n. \]
а)
\[ \left(\frac23m\right)^{-2} =\left(\frac{2m}{3}\right)^{-2} =\left(\frac3{2m}\right)^2 =\frac9{4m^2}. \]
б) Так как \(2{,}5=\dfrac52\), получаем:
\[ (2{,}5n)^{-2} =\left(\frac52n\right)^{-2} =\left(\frac2{5n}\right)^2 =\frac4{25n^2}. \]
в)
\[ \left(\frac5{7t}\right)^{-2} =\left(\frac{7t}{5}\right)^2 =\frac{49t^2}{25}. \]
Проверка: во всех примерах с отрицательным показателем основания переменных должны быть ненулевыми.
