номер 5

Краткий ответ: \[ \boxed{a\in\left(\frac13,\,1\right]\cup\{3\}} \]

Решение

ОДЗ корня: \[ 3-x\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\le 3. \]

Разложим многочлен: \[ xy^2-3xy-3y+9=(y-3)(xy-3). \]

Поэтому первое уравнение системы равносильно совокупности: \[ x=3,\qquad y=3,\qquad xy=3, \] при этом \(x\le3\). Нужно посчитать пересечения этих линий и гиперболы с прямой \(y=ax\).

1. Пересечение с \(x=3\)

Всегда есть точка \[ (3,3a). \]

2. Пересечение с \(y=3\)

\[ ax=3\quad\Longrightarrow\quad x=\frac3a. \]

Точка допустима, если \(\frac3a\le3\). Это выполняется при \[ a<0\quad\text{или}\quad a\ge1. \]

3. Пересечение с \(xy=3\)

Подставим \(y=ax\): \[ ax^2=3. \]

Два корня существуют при \(a>0\), а положительный корень должен удовлетворять \(x\le3\): \[ \sqrt{\frac3a}\le3 \quad\Longrightarrow\quad a\ge\frac13. \]

Значит, при \(a\ge\frac13\) получаем две точки.

Учитываем совпадения

• При \(a=\frac13\) точка гиперболы с \(x=3\) совпадает с точкой на \(x=3\), поэтому решений только \(2\).
• При \(a=1\) пересечения с \(x=3\) и \(y=3\) совпадают, остаётся \(3\) решения.
• При \(a=3\) пересечения \(y=3\) и \(xy=3\) совпадают в точке \((1,3)\), поэтому также \(3\) решения.
• При \(\frac13<a<1\) имеется ровно \(3\) решения.

Следовательно, \[ \boxed{a\in\left(\frac13,1\right]\cup\{3\}}. \]