номер 80
Анализ отрезков и расстояний
Мне нужно ответить на эту русскую задачу об отрезке AB, разделённом точками P и Q, с условием: AP = 2PQ = 2QB.
Сначала обозначу длины: если PQ = QB = x, то AP = 2x. Общая длина AB равна a = 4x, откуда x = a/4.
Затем вычислю расстояния: середина QB находится на расстоянии 7a/8 от точки A. Для пункта б расстояние между серединами AP и QB равно 5a/8. Я прослежу за тем, чтобы чётко объяснить каждый шаг.
Формулировка ясных ответов
Мне нужно выполнить указание добавить содержательный следующий запрос после основного ответа. Я составлю краткий ответ, обобщающий результаты: «Краткий ответ: а) 7a/8; б) 5a/8», прежде чем приводить объяснение.
Я проверю, что AP = 2PQ = 2QB выполняется: AP = 2x и PQ = QB = x, откуда можно получить x = a/4. Затем вычислю необходимые расстояния. Для координат точек я укажу их порядок A-P-Q-B и найду нужную середину QB.
Чтобы завершить задачу, я также добавлю следующий запрос на русском языке, связанный с похожей задачей.
[[NEXT]] Разбери похожую задачу с другими отношениями.
Краткий ответ:
а) \(\displaystyle \frac{7a}{8}\);
б) \(\displaystyle \frac{5a}{8}\).
Решение
Пусть
\[ PQ=QB=x. \]
Так как
\[ AP=2PQ=2QB, \]
то
\[ AP=2x. \]
Весь отрезок \(AB\):
\[ AB=AP+PQ+QB=2x+x+x=4x. \]
По условию \(AB=a\), значит:
\[ 4x=a,\qquad x=\frac a4. \]
Следовательно,
\[ AP=\frac a2,\qquad PQ=QB=\frac a4. \]
а) Расстояние от \(A\) до середины \(QB\)
От точки \(A\) до точки \(Q\):
\[ AQ=AP+PQ=\frac a2+\frac a4=\frac{3a}{4}. \]
Середина \(QB\) находится на половине отрезка \(QB\):
\[ \frac{QB}{2}=\frac a8. \]
Поэтому расстояние от \(A\) до середины \(QB\):
\[ \frac{3a}{4}+\frac a8=\frac{6a}{8}+\frac a8 =\boxed{\frac{7a}{8}}. \]
б) Расстояние между серединами \(AP\) и \(QB\)
Середина \(AP\) удалена от \(A\) на:
\[ \frac{AP}{2}=\frac a4. \]
Середина \(QB\) удалена от \(A\) на \(\frac{7a}{8}\). Значит, расстояние между серединами:
\[ \frac{7a}{8}-\frac a4 =\frac{7a}{8}-\frac{2a}{8} =\boxed{\frac{5a}{8}}. \]
Проверка: все найденные расстояния меньше длины всего отрезка \(a\), что верно.
