Реши задачу 13

Пусть \(\vec{AB}=\mathbf b,\ \vec{AD}=\mathbf d\). Тогда \[ \vec{DM}=\mathbf b-\frac12\mathbf d,\qquad \vec{AC}=\mathbf b+\mathbf d. \] Из \(DM\perp AC\): \[ 2b^2+\mathbf b\cdot\mathbf d-d^2=0. \] Поэтому \[ BN^2=\left|\mathbf d-\frac12\mathbf b\right|^2=\frac94b^2, \quad BN=\frac32\,AB=\frac32\cdot CD=\frac32\cdot6=9. \]

Ответ: \(9\).