Реши

Краткие ответы:

1. Делители числа \(54\): \(1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54\).
2. Первые шесть положительных кратных \(7\): \(7, 14, 21, 28, 35, 42\).
3. Да, \(135\) кратно \(9\).
4. \(\mathrm{НОД}(48,60)=12\).
5. \(\mathrm{НОК}(72,108)=216\).
6. \(x=7,14,35,70\).
7. Да, утверждение верно.
8. Максимум \(24\) ученика.
9. Через \(120\) минут, или через \(2\) часа.

Решение

№1. Разложим число: \[ 54=2\cdot 3^3. \] Делители подбираем парами: \[ 1\cdot54,\quad 2\cdot27,\quad 3\cdot18,\quad 6\cdot9. \] Значит, все делители: \[ 1,2,3,6,9,18,27,54. \]

№2. Кратные числа \(7\) получаются умножением \(7\) на натуральные числа: \[ 7\cdot1=7,\quad 7\cdot2=14,\quad \ldots,\quad 7\cdot6=42. \]

№3. \[ 135:9=15. \] Деление выполняется без остатка, значит, \(135\) кратно \(9\).

№4. \[ 48=2^4\cdot3,\qquad 60=2^2\cdot3\cdot5. \] Общие множители: \[ \mathrm{НОД}(48,60)=2^2\cdot3=12. \]

№5. \[ 72=2^3\cdot3^2,\qquad 108=2^2\cdot3^3. \] Для НОК берём каждую простую степень с наибольшим показателем: \[ \mathrm{НОК}(72,108)=2^3\cdot3^3=8\cdot27=216. \] Проверка: \[ 216:72=3,\qquad 216:108=2. \]

№6. Делители числа \(70\): \[ 1,2,5,7,10,14,35,70. \] Из них кратными \(7\) являются: \[ \boxed{7,14,35,70}. \]

№7. Утверждение верно. Если \(a\) делится на \(b\), то \(a\) уже является общим кратным чисел \(a\) и \(b\). Например: \[ 12\text{ делится на }3,\qquad \mathrm{НОК}(12,3)=12. \] Следовательно, \[ \boxed{\mathrm{НОК}(a,b)=a}. \]

№8. Число учеников должно быть общим делителем чисел \(48\) и \(72\). Максимальное такое число — НОД: \[ \mathrm{НОД}(48,72)=24. \] Проверка: \[ 48:24=2,\qquad 72:24=3. \] Каждый ученик получит \(2\) конфеты «Ромашка» и \(3\) конфеты «Ласточка».

№9. Электрички встретятся снова через число минут, кратное и \(30\), и \(40\). Наименьшее такое число — НОК: \[ 30=2\cdot3\cdot5,\qquad 40=2^3\cdot5, \] \[ \mathrm{НОК}(30,40)=2^3\cdot3\cdot5=120. \] Ответ: \[ \boxed{120\text{ минут}=2\text{ часа}}. \]