Номер 421
Краткий ответ:
а) \(\sqrt3(\sqrt3+1)\);
б) \(2(5-\sqrt{10})\);
в) \(\sqrt{x}(1+\sqrt{x})\);
г) \(\sqrt a(\sqrt a-5)\);
д) \(\sqrt a(1-\sqrt2)\);
е) \(\sqrt m(\sqrt3+\sqrt5)\);
ж) \(\sqrt7(\sqrt2-1)\);
з) \(\sqrt{11}(\sqrt3+\sqrt2)\).
Как разложить на множители
Используем свойства:
\[ \sqrt{uv}=\sqrt u\cdot\sqrt v,\qquad AB+AC=A(B+C). \]
а) Представим \(3\) как \(\sqrt3\cdot\sqrt3\):
\[ 3+\sqrt3=\sqrt3\cdot\sqrt3+\sqrt3 =\sqrt3(\sqrt3+1). \]
б) Выносим общий множитель \(2\):
\[ 10-2\sqrt{10}=2(5-\sqrt{10}). \]
в) Так как \(x=\sqrt x\cdot\sqrt x\), то
\[ \sqrt x+x=\sqrt x+\sqrt x\cdot\sqrt x =\sqrt x(1+\sqrt x). \]
г)
\[ a-5\sqrt a=\sqrt a\cdot\sqrt a-5\sqrt a =\sqrt a(\sqrt a-5). \]
д)
\[ \sqrt{2a}=\sqrt2\cdot\sqrt a, \]
поэтому
\[ \sqrt a-\sqrt{2a} =\sqrt a-\sqrt2\sqrt a =\sqrt a(1-\sqrt2). \]
е)
\[ \sqrt{3m}+\sqrt{5m} =\sqrt3\sqrt m+\sqrt5\sqrt m =\sqrt m(\sqrt3+\sqrt5). \]
ж)
\[ \sqrt{14}-\sqrt7=\sqrt7\sqrt2-\sqrt7 =\sqrt7(\sqrt2-1). \]
з)
\[ \sqrt{33}+\sqrt{22} =\sqrt{11}\sqrt3+\sqrt{11}\sqrt2 =\sqrt{11}(\sqrt3+\sqrt2). \]
Проверка выполняется раскрытием скобок: общий множитель умножается на каждый член в скобках, и получается исходное выражение. Для переменных подразумевается \(x\ge0,\ a\ge0,\ m\ge0\).
