Номер 421

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} \text{а)}\;&3+\sqrt3=\sqrt3(\sqrt3+1);\\ \text{б)}\;&10-2\sqrt{10}=2(5-\sqrt{10});\\ \text{в)}\;&\sqrt{x}+x=\sqrt{x}(1+\sqrt{x});\\ \text{г)}\;&a-5\sqrt a=\sqrt a(\sqrt a-5);\\ \text{д)}\;&\sqrt a-\sqrt{2a}=\sqrt a(1-\sqrt2);\\ \text{е)}\;&\sqrt{3m}+\sqrt{5m}=\sqrt m(\sqrt3+\sqrt5);\\ \text{ж)}\;&\sqrt{14}-\sqrt7=\sqrt7(\sqrt2-1);\\ \text{з)}\;&\sqrt{33}+\sqrt{22}=\sqrt{11}(\sqrt3+\sqrt2). \end{aligned} \]

Как выполнять такие задания

Нужно найти общий множитель и вынести его за скобки. Используем свойства:

\[ a=\sqrt a\cdot\sqrt a,\qquad \sqrt{uv}=\sqrt u\cdot\sqrt v. \]

Например:

• \(\;3+\sqrt3=\sqrt3\cdot\sqrt3+\sqrt3=\sqrt3(\sqrt3+1)\);
• \(\;\sqrt a-\sqrt{2a}=\sqrt a-\sqrt a\cdot\sqrt2 =\sqrt a(1-\sqrt2)\);
• \(\;\sqrt{33}+\sqrt{22} =\sqrt{11}\sqrt3+\sqrt{11}\sqrt2 =\sqrt{11}(\sqrt3+\sqrt2)\).

Проверка выполняется раскрытием скобок. Например:

\[ \sqrt7(\sqrt2-1)=\sqrt{14}-\sqrt7, \]

то есть получаем исходное выражение. Для пунктов с переменными предполагается \(x,a,m\ge 0\).