Номер 797 реши

Краткий ответ: средняя линия трапеции проходит через середины обеих диагоналей.

Пусть \(ABCD\) — трапеция, \(AB\parallel CD\).
\(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\), поэтому \(MN\) — средняя линия.
\(P\) и \(Q\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\).

Доказательство

Используем теорему о средней линии треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне.

1. В треугольнике \(ADC\) точки \(M\) и \(P\) — середины сторон \(AD\) и \(AC\). Поэтому
   \[ MP\parallel DC. \]

2. В треугольнике \(ABC\) точки \(P\) и \(N\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\). Поэтому
   \[ PN\parallel AB. \]

Так как \(AB\parallel CD\), то \(MP\) и \(PN\) проходят через одну точку \(P\) и параллельны одному направлению. Значит, точки \(M,P,N\) лежат на одной прямой. Следовательно, \(P\) лежит на средней линии \(MN\).

Аналогично:

3. В треугольнике \(ABD\):
   \[ MQ\parallel AB. \]

4. В треугольнике \(BCD\):
   \[ QN\parallel CD. \]

Следовательно, точки \(M,Q,N\) лежат на одной прямой, то есть \(Q\) тоже лежит на средней линии \(MN\).

Итак, средняя линия трапеции проходит через середины её диагоналей.

Проверка: все четыре точки \(M,N,P,Q\) находятся на одной прямой, параллельной основаниям трапеции.