Объясни тему очень простыми словами
Кратко: правильный многоугольник можно разделить из центра на \(n\) одинаковых треугольников. Поэтому его площадь:
\[ \boxed{S=\frac12 Pr} \]
где \(P\) — периметр многоугольника, \(r\) — радиус вписанной окружности.
1. Что такое правильный многоугольник
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого:
- все стороны равны;
- все углы равны.
\(n\) — количество его сторон, \(a_n\) — длина одной стороны.
Периметр:
\[ P=na_n. \]
2. Почему \(S=\frac12 Pr\)
Соединим центр \(O\) многоугольника со всеми вершинами. Получится \(n\) одинаковых треугольников.
У каждого треугольника:
- основание — сторона многоугольника \(a_n\);
- высота — радиус вписанной окружности \(r\).
Площадь одного треугольника:
\[ S_1=\frac12 a_n r. \]
Треугольников всего \(n\), значит:
\[ S=n\cdot\frac12 a_n r =\frac12(na_n)r. \]
Но \(na_n=P\), поэтому:
\[ \boxed{S=\frac12 Pr}. \]
Простыми словами: площадь равна половине произведения периметра на расстояние от центра до стороны.
3. Полезные формулы
Если известен радиус описанной окружности \(R\), то:
\[ \boxed{a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}}, \]
\[ \boxed{r=R\cos\frac{180^\circ}{n}}. \]
Также:
\[ \boxed{a_n=2r\tan\frac{180^\circ}{n}}. \]
Здесь:
- \(R\) — расстояние от центра до вершины;
- \(r\) — расстояние от центра до стороны.
Пример
Пусть у правильного шестиугольника сторона \(a=4\), а радиус вписанной окружности \(r=2\sqrt3\).
Периметр:
\[ P=6\cdot4=24. \]
Площадь:
\[ S=\frac12\cdot24\cdot2\sqrt3 =24\sqrt3. \]
Проверка: шестиугольник состоит из 6 треугольников, площадь каждого равна \(4\sqrt3\), а \(6\cdot4\sqrt3=24\sqrt3\). Ответ верный.
Обсуждение
2 сообщенияПочему корень из 3
Корень из \(3\) появляется при нахождении высоты равностороннего треугольника.
Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников со стороной \(4\).
Проведём высоту одного треугольника:
- гипотенуза — \(4\);
- половина основания — \(2\);
- высота — \(r\).
По теореме Пифагора:
\[ r^2+2^2=4^2 \]
\[ r^2=16-4=12 \]
\[ r=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3. \]
Вот откуда взялся \(\sqrt3\). Поэтому площадь:
\[ S=\frac12\cdot24\cdot2\sqrt3=24\sqrt3. \]
