Задание 102
Краткий ответ:
\[
\boxed{\angle ABC=\angle CDA}
\]
Пусть \(O\) — точка пересечения отрезков \(AC\) и \(BD\). По условию: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\):
- \(AO=OC\);
- \(BO=OD\);
- \(\angle AOB=\angle COD\) как вертикальные.
Значит, \[ \triangle AOB=\triangle COD \] по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \[ AB=CD. \]
Аналогично, треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны: \[ \triangle AOD=\triangle COB. \] Следовательно, \[ AD=BC. \]
В треугольниках \(ABC\) и \(CDA\): \[ AB=CD,\qquad BC=DA,\qquad AC=CA. \] Значит, они равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы равны: \[ \boxed{\angle ABC=\angle CDA}. \]
Принцип: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм, а его противоположные углы равны.
