Реши задание на изображении
Краткий ответ
23.
а) \(106\); б) \(1\); в) \(45\).
24. Числа \(25\) и \(26\) взаимно простые.
25.
\[
\operatorname{НОД}(1456,1560)=104.
\]
26.
\[
y=23,\quad y=29.
\]
27. Числа \(299\) и \(184\) не взаимно простые, так как их НОД равен \(23\).
28. В каждой цистерне было по \(72\) т нефти:
- в первом составе — \(5\) цистерн;
- во втором — \(6\) цистерн;
- в третьем — \(11\) цистерн.
Решение
23. Нахождение НОД
а)
\[
318=212+106,\qquad 212=2\cdot106.
\]
Значит,
\[
\operatorname{НОД}(212,318)=106.
\]
б) Числа \(15\) и \(16\) — соседние, поэтому их общий делитель только \(1\): \[ \operatorname{НОД}(15,16)=1. \]
в)
\[
315=2\cdot135+45,\qquad 135=3\cdot45,
\]
а \(450=10\cdot45\). Поэтому
\[
\operatorname{НОД}(135,315,450)=45.
\]
24. Пусть \(d\) — общий делитель чисел \(25\) и \(26\). Тогда \(d\) делит их разность: \[ 26-25=1. \] Единственный делитель числа \(1\) — это \(1\). Значит, \[ \operatorname{НОД}(25,26)=1, \] поэтому числа взаимно простые.
25.
\[
1560=1456+104,\qquad 1456=14\cdot104.
\]
Следовательно,
\[
\operatorname{НОД}(1456,1560)=104.
\]
26. Простые числа между \(19\) и \(30\): \[ 23,\ 29. \] Они удовлетворяют условию \(19<y<30\).
27. Применим алгоритм Евклида: \[ \begin{aligned} 299&=184+115,\\ 184&=115+69,\\ 115&=69+46,\\ 69&=46+23,\\ 46&=2\cdot23. \end{aligned} \] Значит, \[ \operatorname{НОД}(299,184)=23>1. \] Следовательно, числа не являются взаимно простыми.
28. Пусть \(x\) — количество тонн нефти в одной цистерне. Тогда \(x\) является общим делителем чисел \(360\), \(432\) и \(792\).
\[ 432=360+72,\qquad 360=5\cdot72,\qquad 792=11\cdot72. \]
Общий делитель равен \(72\), а это единственный общий делитель, который больше \(50\). Значит, в одной цистерне \(72\) т нефти.
Количество цистерн:
\[ 360:72=5, \] \[ 432:72=6, \] \[ 792:72=11. \]
Проверка: \[ 5\cdot72=360,\quad 6\cdot72=432,\quad 11\cdot72=792. \]
