Реши задание на изображении
Краткий ответ.
В пункте 6 на фото степень читается как \(-6\), то есть \(y=x^{-6}\). Если там всё-таки \(y=x^6\) без минуса, ответ для 6-го пункта совпадает с пунктом 1.
| № | Функция | Область определения \(D(y)\) | Множество значений \(E(y)\) | Ограниченность |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(y=x^6\) | \(\mathbb R\) | \([0;+\infty)\) | снизу ограничена, сверху — нет |
| 2 | \(y=x^5\) | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | не ограничена ни сверху, ни снизу |
| 3 | \(y=x^7\) | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | не ограничена ни сверху, ни снизу |
| 4 | \(y=x^{-2}=\dfrac1{x^2}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \((0;+\infty)\) | снизу ограничена, сверху — нет |
| 5 | \(y=x^{-3}=\dfrac1{x^3}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | не ограничена ни сверху, ни снизу |
| 6 | \(y=x^{-6}=\dfrac1{x^6}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \((0;+\infty)\) | снизу ограничена, сверху — нет |
Как схематически построить графики
\(y=x^6\) — ветви направлены вверх, вершина в точке \((0;0)\), график симметричен относительно оси \(Oy\).
Так как \(x^6\ge 0\), функция ограничена снизу числом \(0\).\(y=x^5\) — возрастающая кривая через начало координат, симметричная относительно начала координат.
При \(x\to+\infty\) значение \(y\to+\infty\), а при \(x\to-\infty\) \(y\to-\infty\).\(y=x^7\) — аналогичная возрастающая кривая через начало координат, но более «резкая». Также не ограничена ни сверху, ни снизу.
\(y=\dfrac1{x^2}\) — две ветви в I и II координатных четвертях.
Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\). Всегда \(y>0\), поэтому функция ограничена снизу числом \(0\), но сверху не ограничена.\(y=\dfrac1{x^3}\) — две ветви в I и III координатных четвертях.
При приближении \(x\) к нулю справа \(y\to+\infty\), а слева \(y\to-\infty\), поэтому ограниченности нет.\(y=\dfrac1{x^6}\) — две ветви в I и II координатных четвертях, асимптоты \(x=0\) и \(y=0\).
Всегда \(y>0\), значит, функция ограничена снизу числом \(0\), но не ограничена сверху.
Главный принцип:
- чётная степень даёт симметрию относительно \(Oy\);
- нечётная степень — симметрию относительно начала координат;
- отрицательная степень означает \(x\ne0\), так как \(x^{-n}=\dfrac1{x^n}\).
Обсуждение
4 сообщенияНачерти график
Вот схематичные графики всех функций из задания (не в масштабе).
1. \(y=x^6\)
График симметричен относительно оси \(Oy\), проходит через точки \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;1)\).
y
↑
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
────────┼───────●──────→ x
│ 0
2. \(y=x^5\)
y
↑
│ ╱
│ ╱
│ ╱
────────┼──●──────────→ x
│╱
│
График проходит через точки \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\).
3. \(y=x^7\)
y
↑
│ ╱
│ ╱
│ ╱
────────┼────●─────────→ x
│ ╱
│
График также проходит через \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\), но около начала координат он более пологий.
4. \(y=x^{-2}=\dfrac1{x^2}\)
y
↑
│ ╲ │ ╱
│ ╲ │ ╱
│ ╲│╱
────────┼──────┼──────→ x
0
Две ветви расположены выше оси \(Ox\). Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
5. \(y=x^{-3}=\dfrac1{x^3}\)
y
↑
│ │╱
│ │
────────┼──────┼──────→ x
│ ╱│
│ ╱ │
↓
Ветви находятся в I и III координатных четвертях. Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
6. \(y=x^{-6}=\dfrac1{x^6}\)
y
↑
│ ╲ │ ╱
│ ╲│╱
│ │
────────┼─────┼─────→ x
0
Две ветви находятся выше оси \(Ox\), как у \(y=\dfrac1{x^2}\), но график расположен ниже при \(|x|>1\). Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
Не такие
Понял — нужны нормальные графики на координатной сетке, а не условные схемы. Начертить так все 6 функций или только один конкретный номер?
