Реши задание на изображении

Краткий ответ

20.

1. \(\text{НОД}(18,30)=6\);
2. \(\text{НОД}(15,45)=15\);
3. \(\text{НОД}(72,108)=36\);
4. \(\text{НОД}(660,495)=165\);
5. \(\text{НОД}(28,84,98)=14\).

21. Взаимно простые пары: \[ (15;22),\quad (22;27). \]

22. \[ \frac1{30},\ \frac7{30},\ \frac{11}{30},\ \frac{13}{30},\ \frac{17}{30},\ \frac{19}{30},\ \frac{23}{30},\ \frac{29}{30}. \]

23. Числа \(644\) и \(495\) взаимно простые.

Решение

20. Нахождение НОД

Разложим числа на простые множители:

1. \(18=2\cdot3^2,\quad 30=2\cdot3\cdot5\), поэтому
   \[ \text{НОД}(18,30)=2\cdot3=6. \]

2. \(15\) делит \(45\), значит
   \[ \text{НОД}(15,45)=15. \]

3. \(72=2^3\cdot3^2,\quad108=2^2\cdot3^3\), поэтому
   \[ \text{НОД}(72,108)=2^2\cdot3^2=36. \]

4. \(660=2^2\cdot3\cdot5\cdot11\),
   \(495=3^2\cdot5\cdot11\), поэтому
   \[ \text{НОД}(660,495)=3\cdot5\cdot11=165. \]

5. \(28=2^2\cdot7,\quad84=2^2\cdot3\cdot7,\quad98=2\cdot7^2\).
   Общие множители: \(2\cdot7\), значит
   \[ \text{НОД}(28,84,98)=14. \]

21. Взаимно простые пары

Два числа взаимно просты, если их НОД равен \(1\):

\[ \text{НОД}(15,22)=1,\qquad \text{НОД}(22,27)=1. \]

Остальные пары имеют общий делитель \(2\) или \(3\).

22. Правильные дроби

Дробь со знаменателем \(30\) будет правильной, если числитель меньше \(30\). Кроме того, числитель должен быть взаимно прост с \(30\).

Числа от \(1\) до \(29\), взаимно простые с \(30\):

\[ 1,7,11,13,17,19,23,29. \]

Отсюда получаем указанные дроби.

23. Доказательство

Применим алгоритм Евклида:

\[ 644=495+149, \] \[ 495=3\cdot149+48, \] \[ 149=3\cdot48+5, \] \[ 48=9\cdot5+3, \] \[ 5=3+2, \] \[ 3=2+1. \]

Последний ненулевой остаток равен \(1\), поэтому

\[ \text{НОД}(644,495)=1. \]

Следовательно, числа \(644\) и \(495\) взаимно простые.