Реши задание на изображении
Краткий ответ
\(\boxed{1}\)
\(\boxed{610}\)
\(\boxed{D(y)=[4;+\infty)}\)
а) \(\boxed{x=4}\)
б) \(\boxed{x=4}\)
в) \(\boxed{x\in[0;16)}\)
г) \(\boxed{x=6}\)
д) \(\boxed{x=5-\sqrt{10}}\)
е) \(\boxed{x\in(2;+\infty)}\)
ж) \(\boxed{x\in(2;+\infty)}\)
з) \(\boxed{x\in\left[\frac23;1\right]\cup[2;+\infty)}\)
и) \(\boxed{x\in\left[-6;\frac{5+\sqrt{33}}2\right)}\)
к) \(\boxed{x\in\left(\frac53;2\right]\cup[3;+\infty)}\)\[ \boxed{x\in\left\{-4;\,-1;\,\frac{-5-\sqrt{109}}2;\,\frac{-5+\sqrt{109}}2\right\}} \]
Для \(y=x^3\):
- область определения: \(\boxed{\mathbb R}\);
- функция возрастает на \(\boxed{(-\infty;+\infty)}\);
- промежутков убывания нет.
Ключевые шаги
№ 1
\[ \sqrt[3]{-27}+\sqrt{16}=-3+4=1. \]
№ 2
\[ 25^2-\sqrt9\cdot\sqrt{25} =625-3\cdot5 =625-15=610. \]
№ 3
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ x-4\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge4. \]
Значит,
\[ D(y)=[4;+\infty). \]
№ 4
При работе с корнями сначала учитываем область допустимых значений.
а)
\[ \sqrt{x+5}=3 \]
\[ x+5=9 \Rightarrow x=4. \]
Проверка: \(\sqrt{4+5}=\sqrt9=3\).
б)
\[ \sqrt{2x-1}=\sqrt{x+3}. \]
ОДЗ: \(x\ge\frac12\). Возводим в квадрат:
\[ 2x-1=x+3 \Rightarrow x=4. \]
в)
\[ \sqrt{x}<4. \]
ОДЗ: \(x\ge0\). Обе части неотрицательны, поэтому:
\[ x<16. \]
Ответ:
\[ x\in[0;16). \]
г)
\[ \sqrt{x+3}=x-3. \]
Правая часть должна быть неотрицательной:
\[ x-3\ge0 \Rightarrow x\ge3. \]
Возводим в квадрат:
\[ x+3=(x-3)^2, \]
\[ x^2-7x+6=0, \]
\[ x=1\quad\text{или}\quad x=6. \]
Условию \(x\ge3\) подходит только \(x=6\).
д)
\[ \sqrt{2x+1}+x=4 \]
\[ \sqrt{2x+1}=4-x. \]
Нужно \(4-x\ge0\), то есть \(x\le4\). Возводим в квадрат:
\[ 2x+1=(4-x)^2, \]
\[ x^2-10x+15=0, \]
\[ x=5\pm\sqrt{10}. \]
Число \(5+\sqrt{10}>4\) не подходит. Поэтому
\[ x=5-\sqrt{10}. \]
е)
\[ \sqrt{2x-3}>1. \]
\[ 2x-3>1 \Rightarrow 2x>4 \Rightarrow x>2. \]
ж)
\[ \sqrt{x+2}<x. \]
Так как левая часть неотрицательна, необходимо \(x>0\). Возводим в квадрат:
\[ x+2<x^2, \]
\[ x^2-x-2>0, \]
\[ (x-2)(x+1)>0. \]
С учётом \(x>0\):
\[ x>2. \]
з)
\[ \sqrt{3x-2}\le x. \]
ОДЗ:
\[ 3x-2\ge0 \Rightarrow x\ge\frac23. \]
Возводим в квадрат:
\[ 3x-2\le x^2, \]
\[ x^2-3x+2\ge0, \]
\[ (x-1)(x-2)\ge0. \]
Отсюда:
\[ x\in\left[\frac23;1\right]\cup[2;+\infty). \]
и)
\[ \sqrt{x+6}>x-2. \]
ОДЗ: \(x\ge-6\).
При \(x\le2\) правая часть неположительна, поэтому неравенство выполняется:
\[ x\in[-6;2]. \]
При \(x>2\) возводим в квадрат:
\[ x+6>(x-2)^2, \]
\[ x^2-5x-2<0. \]
Корни:
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}2. \]
С учётом \(x>2\):
\[ x\in\left(2;\frac{5+\sqrt{33}}2\right). \]
Объединяем:
\[ x\in\left[-6;\frac{5+\sqrt{33}}2\right). \]
к)
\[ \sqrt{x^2-5x+6}<x-1. \]
ОДЗ:
\[ x^2-5x+6\ge0, \]
\[ (x-2)(x-3)\ge0, \]
\[ x\le2\quad\text{или}\quad x\ge3. \]
Также \(x-1>0\), поэтому \(x>1\). Возводим в квадрат:
\[ x^2-5x+6<(x-1)^2, \]
\[ x^2-5x+6<x^2-2x+1, \]
\[ x>\frac53. \]
Пересекаем условия:
\[ x\in\left(\frac53;2\right]\cup[3;+\infty). \]
№ 5
Обозначим
\[ t=x^2+5x+4. \]
Тогда уравнение имеет вид:
\[ t=5\sqrt t. \]
Пусть \(u=\sqrt t\), тогда \(u\ge0\):
\[ u^2=5u, \]
\[ u(u-5)=0. \]
Значит,
\[ t=0\quad\text{или}\quad t=25. \]
- Если \(t=0\):
\[ x^2+5x+4=0, \]
\[ (x+1)(x+4)=0, \]
\[ x=-1,\,-4. \]
- Если \(t=25\):
\[ x^2+5x+4=25, \]
\[ x^2+5x-21=0, \]
\[ x=\frac{-5\pm\sqrt{109}}2. \]
Все найденные значения подходят, потому что подкоренное выражение равно \(0\) или \(25\).
№ 6
Для построения графика \(y=x^3\) можно взять точки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=x^3&-8&-1&0&1&8 \end{array} \]
Наносим точки \((-2;-8)\), \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;8)\) и соединяем их плавной S-образной кривой.
Функция определена при любых \(x\), поэтому:
\[ D(f)=\mathbb R. \]
Если \(x_1<x_2\), то
\[ x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)>0. \]
Следовательно, \(y=x^3\) возрастает на всей числовой прямой.
