Реши

Краткий ответ: диагональ \(AC\) делится отрезком \(DM\) на части
\[ \boxed{6\text{ см и }12\text{ см}}. \]

Пусть \(K=DM\cap AC\). Возьмём \(A\) за начало отсчёта и обозначим: \[ \vec{AB}=\mathbf b,\qquad \vec{AD}=\mathbf d. \] Тогда: \[ C=\mathbf b+\mathbf d,\qquad M=\frac12\mathbf b. \]

Так как \(K\) лежит на диагонали \(AC\), можно записать: \[ K=\lambda(\mathbf b+\mathbf d). \]

С другой стороны, \(K\) лежит на \(DM\), поэтому: \[ K=\mathbf d+\mu\left(\frac12\mathbf b-\mathbf d\right) =\frac{\mu}{2}\mathbf b+(1-\mu)\mathbf d. \]

Сравниваем коэффициенты при \(\mathbf b\) и \(\mathbf d\): \[ \lambda=\frac{\mu}{2},\qquad \lambda=1-\mu. \] Отсюда \(\mu=2\lambda\), значит: \[ \lambda=1-2\lambda,\qquad 3\lambda=1,\qquad \lambda=\frac13. \]

Следовательно, \[ AK=\frac13AC=\frac13\cdot18=6\text{ см}, \] \[ KC=18-6=12\text{ см}. \]

Проверка: \(6+12=18\), как и должно быть. Точка \(K\) делит диагональ в отношении \(AK:KC=1:2\).