Реши задание на изображении
На изображении два задания.
Краткий ответ
Параллелограмм:
\[ P=36\text{ см},\qquad \angle A=\angle C=60^\circ,\qquad \angle B=\angle D=120^\circ. \]Прямоугольник:
\[ AB=CD=6\text{ см},\qquad BC=AD=12\text{ см}. \]
1. Параллелограмм \(ABCD\)
Так как \(BK\) — высота, то:
\[ BK\perp AD,\qquad \angle AKB=90^\circ. \]
В прямоугольном треугольнике \(ABK\):
\[ \angle ABK=30^\circ, \]
значит,
\[ \angle BAK=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]
Точка \(K\) лежит на стороне \(AD\), поэтому:
\[ \angle A=\angle DAB=\angle BAK=60^\circ. \]
В треугольнике \(ABK\) сторона \(AK=4\) см лежит напротив угла \(30^\circ\), поэтому гипотенуза:
\[ AB=2AK=2\cdot4=8\text{ см}. \]
Сторона \(AD\):
\[ AD=AK+KD=4+6=10\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=2(AB+AD)=2(8+10)=36\text{ см}. \]
Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle B=\angle D=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]
Проверка: стороны параллелограмма равны \(8\) см и \(10\) см, поэтому \(P=36\) см.
2. Прямоугольник \(ABCD\)
Пусть
\[ AB=x,\qquad BC=y. \]
Разместим прямоугольник так, чтобы:
\[ A(0,0),\quad B(x,0),\quad C(x,y),\quad D(0,y). \]
Так как \(M\) — середина \(BC\), то:
\[ M\left(x,\frac y2\right). \]
Векторы:
\[ \overrightarrow{MA}=\left(-x,-\frac y2\right),\qquad \overrightarrow{MD}=\left(-x,\frac y2\right). \]
По условию \(MA\perp MD\), поэтому их скалярное произведение равно нулю:
\[ x^2-\frac{y^2}{4}=0. \]
Отсюда:
\[ y=2x. \]
Периметр прямоугольника равен \(36\) см:
\[ 2(x+y)=36, \]
\[ x+y=18. \]
Подставим \(y=2x\):
\[ x+2x=18,\qquad 3x=18,\qquad x=6. \]
Тогда:
\[ y=2\cdot6=12. \]
Проверка:
\[ 2(6+12)=36\text{ см}, \]
а условие перпендикулярности выполняется:
\[ 6^2-\frac{12^2}{4}=36-36=0. \]
