233,234,235
Анализ выражения на изображении
Я пытаюсь определить выражение, которое вижу: оно выглядит как \(a^5 - 4a^? + 4a^?\). При увеличении кажется, что в числителе написано «\(a^5 − 4a^3 + 4a\)», а показатель степени у последнего слагаемого может быть равен \(3\) или, возможно, это просто \(a\). Поэтому я заключаю, что, скорее всего, это \(a^5 - 4a^3 + 4a\), а знаменатель, по-видимому, равен \(a^4 - 16\). Теперь нужно решить это!
Проверка выражения в числителе
Мне нужно проверить, действительно ли числитель имеет вид \(a^5 - 4a^? + 4a^?\). В какой-то момент мне кажется, что там написано \(a^5 - 4a^3 + 4a^0\). Теперь, рассматривая знаменатель, я вижу, что он, по-видимому, равен \(a^4 - 16\), что соответствует стандартному способу разложения на множители. Также встречаются ссылки на совершенно другие выражения по сравнению с типичными задачами из учебника. Я ещё раз проверю эти алгебраические представления, чтобы уточнить неизвестные множители.
Уточнение числителя и ограничений
Мне нужно быть внимательным с выражением \(5y^2 - 2\). Числитель, по-видимому, имеет вид \(3y^3 - 12y^2 - y + 4\), который можно сгруппировать как \((y-4)(3y^2-1)\). Знаменатель \(9y^4 - 1\) раскладывается как \((3y^2-1)(3y^2+1)\), и я вижу, что существуют ограничения, поскольку \(9y^4 \neq 1\), откуда \(y \neq \pm 1/\sqrt{3}\). Корни числителя — \(y=4\) и \(\pm 1/\sqrt{3}\), но в окончательный ответ можно включить только \(y=4\).
Решение рационального уравнения
Я работаю со знаменателями \(x-1\) и \(x-7\), составляя уравнение \(8x-x^2-7=-(x-1)(x-7)\). Ограничения состоят в том, что x не может быть равен 1 или 7. Цель — решить уравнение с этими дробями. После некоторых вычислений я получаю корни \(x=0\) и \(x=7\). Число 7 нужно исключить, поэтому решением остаётся \(x=0\). Нужно также чётко обобщить результаты, правильно указав номер задания.
Вычисление алгебраических дробей
Я работаю над несколькими алгебраическими задачами. В первой части я вижу, что при \(x=1/\sqrt{3}\) числитель равен нулю, а знаменатель — нет, так что всё сходится. При \(y=4\) числитель также упрощается до нуля, что хорошо. Теперь перейдём к исходному уравнению: я нахожу наименьший общий кратный для дробей. Левая часть после некоторых преобразований упрощается до \(-8x + 26\), и теперь мне нужно приравнять её к правой части.
Краткий ответ
233.
а) \(a=-3,\ 0\);
б) \(a=0\);
в) \(a=-\sqrt2,\ 0,\ \sqrt2\).
234.
а) \(y=\pm\sqrt{\frac25}\);
б) \(y=4\);
в) \(x=\pm\frac1{\sqrt3}\);
г) \(y=4\).
235.
а) \(x=10\);
б) \(x=0\).
Основной принцип
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда:
\[ \frac{P}{Q}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad P=0,\quad Q\ne0. \]
То есть сначала находим корни числителя, а затем исключаем те, при которых знаменатель обращается в нуль.
Упражнение 233
а)
\[ \frac{a^3-9a}{a^2+a-12}=0. \]
Разложим на множители:
\[ a^3-9a=a(a-3)(a+3), \]
\[ a^2+a-12=(a-3)(a+4). \]
Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[ a\ne3,\qquad a\ne-4. \]
Корни числителя:
\[ a=0,\quad a=3,\quad a=-3. \]
Число \(3\) исключаем. Получаем:
\[ \boxed{a=-3,\ 0}. \]
б)
\[ \frac{a^5+2a^4}{a^3+a+10}=0. \]
\[ a^5+2a^4=a^4(a+2). \]
Возможные корни числителя:
\[ a=0,\qquad a=-2. \]
Проверим знаменатель:
\[ (-2)^3+(-2)+10=0, \]
поэтому \(a=-2\) не подходит. При \(a=0\) знаменатель равен \(10\).
\[ \boxed{a=0}. \]
в)
\[ \frac{a^5-4a^3+4a}{a^4-16}=0. \]
\[ a^5-4a^3+4a =a(a^4-4a^2+4) =a(a^2-2)^2. \]
\[ a^4-16=(a^2-4)(a^2+4), \]
поэтому \(a\ne2\) и \(a\ne-2\).
Из числителя:
\[ a=0,\qquad a^2-2=0, \]
\[ a=0,\qquad a=\pm\sqrt2. \]
Все эти значения допустимы:
\[ \boxed{a=-\sqrt2,\ 0,\ \sqrt2}. \]
Упражнение 234
а)
\[ \frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0. \]
Группируем слагаемые:
\[ 5y^3-15y^2-2y+6 =(y-3)(5y^2-2), \]
\[ y^2-9=(y-3)(y+3). \]
Знаменатель не равен нулю при \(y=\pm3\).
Из числителя:
\[ y=3 \quad\text{или}\quad 5y^2-2=0. \]
Значение \(y=3\) исключаем. Поэтому
\[ y^2=\frac25, \qquad \boxed{y=\pm\sqrt{\frac25}}. \]
б)
\[ \frac{3y^3-12y^2-y+4}{9y^4-1}=0. \]
\[ 3y^3-12y^2-y+4 =(y-4)(3y^2-1), \]
\[ 9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1). \]
Корни числителя:
\[ y=4,\qquad y=\pm\frac1{\sqrt3}. \]
Но \(y=\pm\frac1{\sqrt3}\) обращают знаменатель в нуль. Значит,
\[ \boxed{y=4}. \]
в)
\[ \frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0. \]
\[ 6x^3+48x^2-2x-16 =(x+8)(6x^2-2) =2(x+8)(3x^2-1), \]
\[ x^2-64=(x-8)(x+8). \]
Значения \(x=\pm8\) запрещены.
Из числителя:
\[ x=-8 \quad\text{или}\quad 3x^2-1=0. \]
\(x=-8\) исключаем, поэтому
\[ \boxed{x=\pm\frac1{\sqrt3}}. \]
г)
\[ \frac{y^3-4y^2-6y+24}{y^3-6y}=0. \]
\[ y^3-4y^2-6y+24 =(y-4)(y^2-6), \]
\[ y^3-6y=y(y^2-6). \]
Знаменатель не равен нулю при
\[ y=0,\qquad y=\pm\sqrt6. \]
Из числителя получаем \(y=4\) или \(y=\pm\sqrt6\). Последние два значения запрещены:
\[ \boxed{y=4}. \]
Упражнение 235
а)
\[ \frac2{x-2}-\frac{10}{x+3} =\frac{50}{x^2+x-6}-1. \]
ОДЗ:
\[ x\ne2,\qquad x\ne-3, \]
так как
\[ x^2+x-6=(x-2)(x+3). \]
Умножим уравнение на \((x-2)(x+3)\):
\[ 2(x+3)-10(x-2)=50-(x-2)(x+3). \]
Раскрываем скобки:
\[ -8x+26=56-x^2-x. \]
Переносим всё в левую часть:
\[ x^2-7x-30=0, \]
\[ (x-10)(x+3)=0. \]
\[ x=10\quad\text{или}\quad x=-3. \]
\(x=-3\) не входит в ОДЗ, поэтому
\[ \boxed{x=10}. \]
Проверка:
\[ \frac2{8}-\frac{10}{13} =\frac{50}{104}-1. \]
Обе части равны \(-\frac{27}{52}\).
б)
\[ \frac{x+5}{x-1}+\frac{2x-5}{x-7} -\frac{30-12x}{8x-x^2-7}=0. \]
ОДЗ:
\[ x\ne1,\qquad x\ne7, \]
поскольку
\[ 8x-x^2-7=-(x-1)(x-7). \]
После умножения на \((x-1)(x-7)\):
\[ (x+5)(x-7)+(2x-5)(x-1)+(30-12x)=0. \]
Раскрываем скобки:
\[ x^2-2x-35+2x^2-7x+5+30-12x=0, \]
\[ 3x^2-21x=0, \]
\[ 3x(x-7)=0. \]
\[ x=0\quad\text{или}\quad x=7. \]
\(x=7\) запрещено, значит
\[ \boxed{x=0}. \]
Проверка:
\[ -5+\frac57+\frac{30}{7}=0. \]
