Реши

Краткий ответ (действительные корни)

1. \(x=-1,\;-\dfrac73\)
2. \(x=13\)
3. \(x=-2,\;9\)
4. \(x=-\dfrac32\)
5. \(x=5\)
6. \(x=-7,\;-2,\;7\)
7. \(x=2\)
8. \(x=3\)

Решение

1)
\[ 6x^2+5x+2=3x^2-5x-5 \] \[ 3x^2+10x+7=0 \] \[ (3x+7)(x+1)=0 \] \[ x=-\frac73\quad \text{или}\quad x=-1. \]

2)
ОДЗ: \(x\ne3\).

\[ \frac{x+7}{x-3}=2 \] \[ x+7=2(x-3) \] \[ x+7=2x-6 \] \[ x=13. \]

Проверка: \[ \frac{13+7}{13-3}=\frac{20}{10}=2. \]

3)
ОДЗ: \[ x\ne-1,\qquad x\ne0. \]

\[ \frac{x-9}{2x+2}=\frac{x-9}{x} \] \[ x(x-9)=(2x+2)(x-9) \] \[ (x-9)(x+2)=0. \]

\[ x=9\quad\text{или}\quad x=-2. \]

Оба значения входят в ОДЗ.

4)
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет:

\[ 2x^2+x-3=0 \] \[ (2x+3)(x-1)=0 \] \[ x=-\frac32\quad\text{или}\quad x=1. \]

Знаменатель: \[ 3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1), \] поэтому \(x\ne-\frac13,\;1\). Значение \(x=1\) исключаем.

\[ \boxed{x=-\frac32} \]

5)
\[ x^3-5x^2+9x-45=0 \] Группируем: \[ x^2(x-5)+9(x-5)=0 \] \[ (x-5)(x^2+9)=0. \]

Так как \(x^2+9>0\) при действительных \(x\), получаем:

\[ \boxed{x=5}. \]

6)
\[ x^3+2x^2-49x-98=0 \] \[ x^2(x+2)-49(x+2)=0 \] \[ (x+2)(x^2-49)=0 \] \[ (x+2)(x-7)(x+7)=0. \]

\[ \boxed{x=-2,\;-7,\;7}. \]

7)
Проверим простой корень \(x=2\):

\[ 2\cdot2^3-3\cdot2^2+5\cdot2-14=0. \]

Значит, многочлен делится на \(x-2\):

\[ 2x^3-3x^2+5x-14=(x-2)(2x^2+x+7). \]

У квадратного множителя: \[ D=1-4\cdot2\cdot7=-55<0, \] действительных корней нет.

\[ \boxed{x=2}. \]

8)
Проверим \(x=3\):

\[ 4\cdot3^3-13\cdot3^2+5\cdot3-6=0. \]

Тогда: \[ 4x^3-13x^2+5x-6=(x-3)(4x^2-x+2). \]

\[ D=(-1)^2-4\cdot4\cdot2=-31<0, \] поэтому квадратный множитель действительных корней не имеет.

\[ \boxed{x=3}. \]

Принцип: сначала учитывай ОДЗ, затем раскладывай многочлен на множители. После этого каждый множитель приравнивай к нулю, а недопустимые значения исключай.