Решение
Краткий ответ
Сократите дроби:
а) \(\displaystyle \frac{3x}{2}\);
б) \(\displaystyle \frac{5}{y-2}\);
в) \(\displaystyle \frac{a+b}{3}\).Представьте в виде дроби:
а) \(\displaystyle \frac{1}{4p}\);
б) \(\displaystyle \frac{3(a-2)}{a+3}\).Упростите выражение:
\[ \boxed{\frac{16}{x(x-4)(x+4)}}. \]
Решение
1. Сократим дроби
а)
\[
\frac{39x^3y}{26x^2y}
=\frac{39}{26}\cdot\frac{x^3}{x^2}\cdot\frac{y}{y}
=\frac32x
=\frac{3x}{2}.
\]
б) Разложим знаменатель на множители: \[ y^2-2y=y(y-2). \] Тогда \[ \frac{5y}{y^2-2y} =\frac{5y}{y(y-2)} =\frac{5}{y-2}. \]
в) Используем формулу разности квадратов: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \] \[ \frac{a^2-b^2}{3a-3b} =\frac{(a-b)(a+b)}{3(a-b)} =\frac{a+b}{3}. \]
2. Представим в виде одной дроби
а)
\[
\frac{14p^4}{p^6}\cdot\frac{p^5}{56p^4}
=\frac{14p^9}{56p^{10}}
=\frac{14}{56p}
=\frac{1}{4p}.
\]
б) При делении на дробь заменяем деление умножением на обратную дробь: \[ \frac{3a-9}{a+2}:\frac{a^2-9}{a^2-4} = \frac{3a-9}{a+2}\cdot\frac{a^2-4}{a^2-9}. \]
Разложим выражения: \[ 3a-9=3(a-3),\qquad a^2-4=(a-2)(a+2), \] \[ a^2-9=(a-3)(a+3). \]
Получаем: \[ \frac{3(a-3)}{a+2}\cdot \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)} =\frac{3(a-2)}{a+3}. \]
3. Упростим выражение
\[ \frac{2}{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x. \]
Разложим: \[ x^2-16=(x-4)(x+4). \]
Общий знаменатель: \[ x(x-4)(x+4). \]
Тогда \[ \frac{2x(x+4)-x(x+8)-(x-4)(x+4)} {x(x-4)(x+4)}. \]
Раскроем скобки в числителе: \[ 2x^2+8x-x^2-8x-(x^2-16)=16. \]
Следовательно, \[ \boxed{\frac{16}{x(x-4)(x+4)}}. \]
Ограничения:
\[
x\ne0,\quad x\ne4,\quad x\ne-4.
\]
