Решить задачу 2

Краткий ответ: \(\boxed{MP=\sqrt{17}}\).

По рисунку \(KM=4\sqrt2\), \(KP=5\), \(\angle MKP=45^\circ\).

По теореме косинусов:

\[ MP^2=KM^2+KP^2-2\cdot KM\cdot KP\cdot\cos45^\circ. \]

Подставим значения:

\[ MP^2=(4\sqrt2)^2+5^2-2\cdot4\sqrt2\cdot5\cdot\frac{\sqrt2}{2} \]

\[ MP^2=32+25-40=17. \]

Так как длина стороны положительна,

\[ \boxed{MP=\sqrt{17}}. \]

Проверка: \(\sqrt{17}\approx4{,}12\), что соответствует стороне треугольника.