122

Краткий ответ

Дана функция: \[ y=-x^2+2x+8. \]

Её график — парабола, направленная ветвями вниз, с вершиной \[ (1;9) \] и осью симметрии \(x=1\).

а) Значения функции: \[ \begin{aligned} y(2{,}5)&=6{,}75,\\ y(-0{,}5)&=6{,}75,\\ y(-3)&=-7. \end{aligned} \]

б) Значения \(x\): \[ \begin{array}{c|c} y & x\\ \hline 6 & 1-\sqrt3,\;1+\sqrt3\\ 0 & -2,\;4\\ -2 & 1-\sqrt{11},\;1+\sqrt{11} \end{array} \]

в) Нули функции: \[ x=-2,\qquad x=4. \]

\[ y>0 \text{ при } x\in(-2;4), \] \[ y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty). \]

г) \[ \text{Возрастает на }(-\infty;1], \] \[ \text{убывает на }[1;+\infty). \]

Область значений: \[ y\in(-\infty;9]. \]

Ключевые шаги

Выделим полный квадрат: \[ y=-x^2+2x+8=-(x^2-2x+1)+9=-(x-1)^2+9. \]

Отсюда сразу видно:

• вершина параболы: \((1;9)\);
• ось симметрии: \(x=1\);
• ветви направлены вниз.

Для построения можно отметить точки:

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5\\ \hline y&-7&0&5&8&9&8&5&0&-7 \end{array} \]

Нули найдём из уравнения: \[ -x^2+2x+8=0 \] \[ x^2-2x-8=0 \] \[ (x-4)(x+2)=0. \]

Значит, парабола пересекает ось \(Ox\) в точках \((-2;0)\) и \((4;0)\). Так как ветви направлены вниз, между корнями функция положительна, а вне корней — отрицательна.

Проверка вершины: \[ y(1)=-1+2+8=9, \] поэтому наибольшее значение функции действительно равно \(9\).