121

Краткий ответ

а) \(y=x^2-4x+7\)

• вершина: \(\boxed{(2;\,3)}\);
• ось симметрии: \(\boxed{x=2}\);
• ветви направлены вверх.

б) \(y=-2x^2-5x-2\)

• вершина: \(\boxed{\left(-\frac54;\,\frac98\right)}\);
• ось симметрии: \(\boxed{x=-\frac54}\);
• ветви направлены вниз.

Решение

Удобно выделить полный квадрат.

а)

\[ y=x^2-4x+7=(x-2)^2+3. \]

Сравниваем с формулой \(y=(x-x_0)^2+y_0\):

\[ x_0=2,\qquad y_0=3. \]

Значит, вершина параболы:

\[ \boxed{(2;\,3)}. \]

Так как квадрат не умножается на отрицательное число, парабола направлена вверх.

Для построения можно отметить точки:

\[ (0;7),\ (1;4),\ (2;3),\ (3;4),\ (4;7). \]

Точки \( (1;4)\) и \( (3;4)\), а также \( (0;7)\) и \( (4;7)\) симметричны относительно прямой \(x=2\).

б)

\[ y=-2x^2-5x-2. \]

Выделим полный квадрат:

\[ \begin{aligned} y&=-2\left(x^2+\frac52x+1\right)\\ &=-2\left[\left(x+\frac54\right)^2-\frac9{16}\right]\\ &=-2\left(x+\frac54\right)^2+\frac98. \end{aligned} \]

Следовательно, вершина:

\[ \boxed{\left(-\frac54;\,\frac98\right)}, \]

а ось симметрии:

\[ \boxed{x=-\frac54}. \]

Коэффициент перед квадратом отрицательный, поэтому ветви направлены вниз.

Для построения удобно использовать точки:

\[ (-2;0),\quad \left(-\frac54;\frac98\right),\quad \left(-\frac12;0\right),\quad (0;-2). \]

Проверка

Для первой функции:

\[ f(2)=2^2-4\cdot2+7=3. \]

Для второй:

\[ f\left(-\frac54\right) =-2\cdot\frac{25}{16}+\frac{25}{4}-2 =\frac98. \]

Значения совпадают с найденными координатами вершин.