Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(\boxed{BC=15}\).
По рисунку \(AD\parallel BC\), \(AD=30\), \(\angle ABC=135^\circ\), \(\angle CBD=45^\circ\), \(\angle BCD=90^\circ\).
Диагональ \(BD\) делит угол \(ABC\), поэтому \[ \angle ABD=135^\circ-45^\circ=90^\circ. \]
В треугольнике \(BCD\): \[ \angle BCD=90^\circ,\qquad \angle CBD=45^\circ, \] значит, \(\angle BDC=45^\circ\).
Так как \(AD\parallel BC\), а \(BC\perp CD\), то \(AD\perp CD\). Следовательно, \[ \angle ADC=90^\circ,\qquad \angle ADB=90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]
Треугольник \(ABD\) — прямоугольный равнобедренный, \(AD=30\) — гипотенуза: \[ BD=\frac{AD}{\sqrt2}=\frac{30}{\sqrt2}=15\sqrt2. \]
Треугольник \(BCD\) также прямоугольный равнобедренный, поэтому \[ BC=\frac{BD}{\sqrt2} =\frac{15\sqrt2}{\sqrt2} =\boxed{15}. \]
Проверка: \[ 15^2+15^2=(15\sqrt2)^2, \] значит, вычисление верно.
Обсуждение
4 сообщениянапиши по шаблону дано, и решения
Дано:
\[ AD\parallel BC,\qquad AD=30, \] \[ \angle ABC=135^\circ,\qquad \angle CBD=45^\circ, \] \[ \angle BCD=90^\circ. \]
Найти: \(BC\).
Решение:
Найдём угол \(ABD\): \[ \angle ABD=\angle ABC-\angle CBD =135^\circ-45^\circ=90^\circ. \]
В треугольнике \(BCD\): \[ \angle BCD=90^\circ,\qquad \angle CBD=45^\circ, \] значит, \[ \angle BDC=45^\circ. \]
Так как \(AD\parallel BC\), а \(BC\perp CD\), то \(AD\perp CD\). Поэтому: \[ \angle ADC=90^\circ, \] \[ \angle ADB=90^\circ-\angle BDC =90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]
Следовательно, треугольник \(ABD\) — прямоугольный равнобедренный, где \(AD=30\) — гипотенуза: \[ BD=\frac{AD}{\sqrt2} =\frac{30}{\sqrt2}=15\sqrt2. \]
Треугольник \(BCD\) также прямоугольный равнобедренный, поэтому: \[ BC=\frac{BD}{\sqrt2} =\frac{15\sqrt2}{\sqrt2}=15. \]
Ответ:
\[ \boxed{BC=15} \]
реши без корней
Дано:
\[ AD\parallel BC,\qquad AD=30, \] \[ \angle ABC=135^\circ,\qquad \angle CBD=45^\circ, \] \[ \angle BCD=90^\circ. \]
Найти: \(BC\).
Решение:
Найдём угол \(ABD\): \[ \angle ABD=\angle ABC-\angle CBD =135^\circ-45^\circ=90^\circ. \]
Так как \(AD\parallel BC\), то \[ \angle ADB=\angle DBC=45^\circ. \] Значит, треугольник \(ABD\) — прямоугольный равнобедренный: \[ AB=BD. \]
По теореме Пифагора: \[ AD^2=AB^2+BD^2. \] Так как \(AB=BD\), получаем: \[ 30^2=2BD^2, \] \[ 900=2BD^2, \] \[ BD^2=450. \]
- В треугольнике \(BCD\): \[ \angle BDC=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ. \] Следовательно, \(BC=CD\).
По теореме Пифагора: \[ BD^2=BC^2+CD^2=2BC^2. \] Подставим \(BD^2=450\): \[ 450=2BC^2, \] \[ BC^2=225, \] \[ BC=15. \]
Ответ:
\[ \boxed{15} \]
