Реши

Ответ: \(\boxed{\frac{1}{29}}\).

Пусть \(r_i\) — радиус окружности \(\omega_i\), а
\(\theta=\dfrac{\angle AOB}{2}\).

Для окружности, вписанной в данный угол, расстояние от вершины до точки касания со стороной пропорционально радиусу:

\[ OA_i=r_i\cot\theta. \]

Поэтому расстояния между соседними точками касания также пропорциональны разностям радиусов:

\[ A_iA_{i+1}=\cot\theta\,(r_{i+1}-r_i). \]

Соседние окружности касаются, значит их радиусы образуют геометрическую прогрессию:

\[ r_i=3q^{i-1}. \]

Из условия для пятой окружности:

\[ 3q^4=2523, \]

\[ q^4=\frac{2523}{3}=841=29^2, \qquad q^2=29. \]

Так как разности соседних радиусов тоже образуют геометрическую прогрессию с множителем \(q\), то

\[ A_1A_2=k,\quad A_2A_3=kq,\quad A_3A_4=kq^2,\quad A_4A_5=kq^3. \]

Следовательно,

\[ \frac{A_1A_2\cdot A_3A_4}{A_2A_3\cdot A_4A_5} = \frac{k\cdot kq^2}{kq\cdot kq^3} =\frac1{q^2} =\boxed{\frac1{29}}. \]