Реши задание на изображении

Пришли изображение ещё раз: сейчас мне видны только итоговые ответы, а сами условия заданий — нет. Тогда подробно разберу каждый пункт по шагам.

Разберём все неравенства по порядку. В пунктах с дробями сначала учитываем ОДЗ: знаменатель не должен равняться нулю.

1) \(\displaystyle \frac{(x+2)(x^2-64)}{x^2+15}\le 0\)

Разложим разность квадратов:

\[ x^2-64=(x-8)(x+8). \]

Получаем:

\[ \frac{(x+2)(x-8)(x+8)}{x^2+15}\le 0. \]

Так как

\[ x^2+15>0 \]

при любом \(x\), знак дроби определяется только числителем.

Нули числителя:

\[ x=-8,\quad x=-2,\quad x=8. \]

Расставим знаки:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-8)&(-8;-2)&(-2;8)&(8;+\infty)\\ \hline &-&+&-&+ \end{array} \]

Нужно выбрать промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Нули включаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-8]\cup[-2;8]}. \]

---

2) \(\displaystyle \frac{x^2-14x+48}{x-5}<0\)

Разложим числитель:

\[ x^2-14x+48=(x-6)(x-8). \]

Получаем:

\[ \frac{(x-6)(x-8)}{x-5}<0. \]

Критические точки:

\[ x=5,\quad x=6,\quad x=8. \]

Точка \(x=5\) исключается из ОДЗ.

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;5)&(5;6)&(6;8)&(8;+\infty)\\ \hline &-&+&-&+ \end{array} \]

Выбираем промежутки со знаком «минус». Так как неравенство строгое, точки \(6\) и \(8\) не включаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;5)\cup(6;8)}. \]

---

3) \(\displaystyle \frac{x-4}{(2x-5)(3x-1)}<0\)

Найдём критические точки:

\[ x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4; \]

\[ 2x-5=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac52; \]

\[ 3x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac13. \]

Порядок точек:

\[ \frac13<\frac52<4. \]

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(x=\frac13\) и \(x=\frac52\) исключаются.

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;\frac13)&(\frac13;\frac52)&(\frac52;4)&(4;+\infty)\\ \hline &-&+&-&+ \end{array} \]

Нужно выбрать отрицательные промежутки. Точку \(x=4\) не включаем, поскольку неравенство строгое:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac13\right)\cup\left(\frac52;4\right)}. \]

---

4) \(\displaystyle \frac{(5x-2)(x+4)}{x-8}>0\)

Критические точки:

\[ 5x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac25; \]

\[ x+4=0 \quad\Rightarrow\quad x=-4; \]

\[ x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=8. \]

Порядок точек:

\[ -4<\frac25<8. \]

Точки \(-4\), \(\frac25\) и \(8\) не включаются, так как неравенство строгое, а при \(x=8\) дробь не определена.

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-4)&(-4;\frac25)&(\frac25;8)&(8;+\infty)\\ \hline &-&+&-&+ \end{array} \]

Выбираем промежутки со знаком «плюс»:

\[ \boxed{x\in\left(-4;\frac25\right)\cup(8;+\infty)}. \]

---

5) \(\displaystyle x-2<\frac{6}{-x+3}\)

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ -x+3\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne3. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ x-2-\frac6{3-x}<0. \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{(x-2)(3-x)-6}{3-x}<0. \]

Раскроем скобки:

\[ (x-2)(3-x)-6=-x^2+5x-12. \]

Вынесем минус:

\[ -x^2+5x-12=-(x^2-5x+12). \]

Проверим квадратный трёхчлен:

\[ x^2-5x+12 =\left(x-\frac52\right)^2+\frac{23}{4}>0. \]

Значит, числитель всегда отрицателен. Дробь будет отрицательной тогда, когда знаменатель положителен:

\[ 3-x>0. \]

Отсюда:

\[ x<3. \]

Точка \(x=3\) и так не входит в этот промежуток:

\[ \boxed{x\in(-\infty;3)}. \]

---

6) \(\displaystyle (x-8)^8(5x+1)^5(11-x)>0\)

Найдём нули множителей:

\[ x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=8; \]

\[ 5x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac15; \]

\[ 11-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=11. \]

Заметим:

• \((x-8)^8>0\) при \(x\ne8\), так как степень чётная;
• \((5x+1)^5\) имеет тот же знак, что и \(5x+1\);
• \(11-x\) положительно при \(x<11\).

Таблица знаков:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-\frac15)&(-\frac15;8)&(8;11)&(11;+\infty)\\ \hline &-&+&+&- \end{array} \]

Так как неравенство строгое, точки \(-\frac15\), \(8\) и \(11\) не включаются:

\[ \boxed{x\in\left(-\frac15;8\right)\cup(8;11)}. \]

---

7) \(\displaystyle \frac{3x}{x^2-3x+2}+\frac5{x-1}\ge\frac4{x-2}\)

Сначала разложим знаменатель:

\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]

ОДЗ:

\[ x\ne1,\qquad x\ne2. \]

Перенесём правую часть влево:

\[ \frac{3x}{(x-1)(x-2)} +\frac5{x-1} -\frac4{x-2}\ge0. \]

Приведём к общему знаменателю \((x-1)(x-2)\):

\[ \frac{3x+5(x-2)-4(x-1)} {(x-1)(x-2)}\ge0. \]

Упростим числитель:

\[ 3x+5x-10-4x+4=4x-6. \]

Получаем:

\[ \frac{4x-6}{(x-1)(x-2)}\ge0. \]

Вынесем общий множитель:

\[ \frac{2(2x-3)}{(x-1)(x-2)}\ge0. \]

Критические точки:

\[ x=1,\qquad x=\frac32,\qquad x=2. \]

Точки \(1\) и \(2\) исключаются из ОДЗ, а точка \(\frac32\) включается, поскольку в ней выражение равно нулю.

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;1)&(1;\frac32)&(\frac32;2)&(2;+\infty)\\ \hline &-&+&-&+ \end{array} \]

Следовательно,

\[ \boxed{x\in\left(1;\frac32\right]\cup(2;+\infty)}. \]

Исправление: в предыдущем кратком ответе в пункте 7 был указан неверный промежуток. Правильный ответ:

\[ \boxed{\left(1;\frac32\right]\cup(2;+\infty)}. \]

\[ x^2+15=0 \]

\[ x^2=-15 \]

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет:

\[ \boxed{x\in\varnothing} \]

Если рассматривать комплексные числа, то \(x=\pm i\sqrt{15}\).