Реши задание на изображении
Ответ: \(\boxed{8}\).
Пусть \(S\) — площадь параллелограмма, а
\[
AD=BC=a.
\]
Обозначим: \[ x=\frac{BL}{BC},\qquad y=\frac{DN}{DA}. \]
Так как \(KL\parallel AC\), треугольники \(BKL\) и \(BAC\) подобны. Поэтому площади относятся как квадраты коэффициента подобия: \[ [BKL]=\frac{x^2S}{2}. \]
Аналогично, из \(MN\parallel AC\) следует подобие треугольников \(MDN\) и \(DCA\): \[ [MDN]=\frac{y^2S}{2}. \]
По условию: \[ \frac{x^2S}{2}+\frac{y^2S}{2}=\frac S2, \] значит, \[ x^2+y^2=1. \]
Подставим \(BL=12\), \(DN=5\): \[ x=\frac{12}{a},\qquad y=\frac{5}{a}. \]
Тогда \[ \left(\frac{12}{a}\right)^2+\left(\frac{5}{a}\right)^2=1, \] \[ \frac{144+25}{a^2}=1, \] \[ a^2=169,\qquad a=13. \]
Следовательно, \[ AN=AD-DN=13-5=\boxed{8}. \]
Проверка: \[ \left(\frac{12}{13}\right)^2+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1. \]
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение текущей задачи.
Из предыдущего пункта: \[ AD=BC=13,\qquad AN=8. \]
Введём координаты: \[ A(0,0),\quad B(1,0),\quad D(0,1),\quad C(1,1). \] Тогда \[ L\left(1,\frac{12}{13}\right),\qquad N\left(0,\frac{8}{13}\right). \]
Точка \(O\) лежит на диагонали \(AC\), поэтому её координаты имеют вид \((t,t)\). На отрезке \(NL\): \[ O=N+\lambda(L-N). \] По координатам: \[ t=\lambda,\qquad t=\frac{8}{13}+\lambda\cdot\frac{4}{13}. \] Следовательно, \[ \lambda=\frac89. \]
Значит, \[ \frac{NO}{NL}=\frac89,\qquad \frac{LO}{NL}=\frac19. \] Поэтому \[ \boxed{LO:NO=1:8}. \]
В поле ответа можно ввести: \[ \boxed{\frac18}. \]
