Реши задание на изображении

Ответ: \(\boxed{7}\) и \(\boxed{22}\).

Обозначим число из \(n\) единиц через

\[ R_n=\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ цифр}}=\frac{10^n-1}{9}. \]

Тогда

\[ A_n=aR_n,\qquad B_n=bR_n. \]

Кроме того,

\[ R_{2n}=R_n(10^n+1)=R_n(9R_n+2)=9R_n^2+2R_n, \]

поэтому

\[ C_{2n}=c(9R_n^2+2R_n). \]

Подставим в условие:

\[ c(9R_n^2+2R_n)-2bR_n=2a^2R_n^2. \]

После упрощения:

\[ (9c-2a^2)R_n+2(c-b)=0. \]

Числа \(R_n\) различны при разных \(n\). Линейное уравнение относительно \(R_n\) может иметь хотя бы два решения только тогда, когда оба коэффициента равны нулю:

\[ 9c-2a^2=0,\qquad c-b=0. \]

Значит,

\[ b=c,\qquad 2a^2=9c. \]

Проверяем цифры \(a=1,\ldots,9\). Так как \(3\mid a\), возможны \(a=3,6,9\):

• \(a=3\): \(c=\frac{2\cdot3^2}{9}=2\), \(b=2\), поэтому
  \[ a+b+c=3+2+2=\boxed{7}; \]

• \(a=6\): \(c=\frac{2\cdot6^2}{9}=8\), \(b=8\), поэтому
  \[ a+b+c=6+8+8=\boxed{22}; \]

• \(a=9\): \(c=18\), не цифра.

При найденных значениях равенство выполняется для любого \(n\), значит условие о двух значениях \(n\) выполнено.