Построй сечение
Краткий ответ. Для положения точек на рисунке сечение — шестиугольник
\[
QMNPSR,
\]
где
\[
Q\in AA_1,\qquad R\in AD,\qquad S\in DC.
\]
Построение
Пусть \(\alpha=(MNP)\).
Соедини точки \(M\) и \(N\), а также \(N\) и \(P\). Получатся части сечения на верхней и задней гранях.
Через \(P\) проведи прямую \(PT\parallel MN\), где \(T\) — точка пересечения этой прямой с передней гранью \(ADD_1A_1\).
Через \(T\) проведи прямую, параллельную \(NP\). Она пересечёт рёбра: \[ AA_1\text{ в точке }Q,\qquad AD\text{ в точке }R. \]
Через \(R\) в нижней грани проведи прямую \(RS\parallel MN\). Её пересечение с ребром \(DC\) обозначь \(S\).
Соедини последовательно: \[ Q-M-N-P-S-R-Q. \]
Полученный шестиугольник \(QMNPSR\) и есть искомое сечение.
Почему построение верно
- \(MN\subset\alpha\) и \(NP\subset\alpha\).
- Через точку плоскости \(\alpha\) прямая, параллельная прямой этой плоскости, также лежит в \(\alpha\).
- Поэтому \[ QR\parallel NP,\qquad RS\parallel MN. \]
- Все стороны шестиугольника лежат на гранях куба, а все его вершины принадлежат плоскости \(\alpha\).
Обсуждение
2 сообщенияПострой сечение
Обозначим новые точки \(L\) и \(K\).
На грани \(DCC_1D_1\) через \(N\) проведи
\[ NL\parallel PM. \] Точка \(L\) — пересечение этой прямой с ребром \(DD_1\).Соедини \(P\) и \(L\). Получится след секущей плоскости на передней грани: \[ PL. \]
На задней грани через \(M\) проведи прямую
\[ MK\parallel PL. \] Она пересечёт ребро \(B_1C_1\) в точке \(K\).Соедини \(K\) и \(N\).
Искомое сечение — пятиугольник
\[
\boxed{PMKNL}.
\]
При построении использованы параллельность противоположных граней: \(NL\parallel PM\) и \(MK\parallel PL\).
