1.56
Краткий ответ: \[ \boxed{AD=\frac52},\qquad \boxed{AH=\frac{12}{5}}. \]
Пусть \(A\) — начало координат. Тогда \[ \overrightarrow{AB}=(0,4,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(-3,0,0). \]
1. Длина медианы \(AD\)
Точка \(D\) — середина \(BC\), поэтому \[ \overrightarrow{AD} =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2} =\frac{(0,4,0)+(-3,0,0)}2 =\left(-\frac32,2,0\right). \]
Тогда \[ AD=\sqrt{\left(-\frac32\right)^2+2^2} =\sqrt{\frac94+4} =\sqrt{\frac{25}{4}} =\frac52. \]
2. Длина высоты \(AH\)
Сначала найдём стороны: \[ AB=4,\qquad AC=3. \]
Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) перпендикулярны, так как \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0. \] Значит, треугольник прямоугольный при \(A\).
\[ BC=\sqrt{3^2+4^2}=5. \]
Площадь треугольника: \[ S=\frac12\cdot AB\cdot AC =\frac12\cdot4\cdot3=6. \]
С другой стороны, \[ S=\frac12\cdot BC\cdot AH. \] Следовательно, \[ AH=\frac{2S}{BC}=\frac{12}{5}. \]
Проверка: для прямоугольного треугольника высота к гипотенузе равна \[ AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{4\cdot3}{5}=\frac{12}{5}, \] результат совпадает.
Обсуждение
4 сообщения1.57
Пришли, пожалуйста, условие или фото задания 1.57.
Это продолжение текущего задания: на изображении приведено условие задачи 1.57.
Пусть \(A\) — начало координат. Тогда \[ \vec{AB}=(2,1,3),\qquad \vec{AC}=(0,-1,1). \]
1. Вектор медианы \(AM\)
Так как \(M\) — середина \(BC\), \[ \vec{AM}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}2 =\frac{(2,1,3)+(0,-1,1)}2 =(1,0,2). \]
2. Направление высоты \(AH\)
\[ \vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}=(-2,-2,-2). \]
Проверим: \[ \vec{AC}\cdot\vec{BC} =0\cdot(-2)+(-1)(-2)+1\cdot(-2)=0. \]
Значит, \(AC\perp BC\), поэтому высота \(AH\) совпадает с \(AC\): \[ \vec{AH}=\vec{AC}=(0,-1,1). \]
3. Косинус угла
\[ \cos\angle MAH= \frac{\vec{AM}\cdot\vec{AH}} {|\vec{AM}|\cdot|\vec{AH}|}. \]
\[ \vec{AM}\cdot\vec{AH} =(1,0,2)\cdot(0,-1,1)=2, \] \[ |\vec{AM}|=\sqrt5,\qquad |\vec{AH}|=\sqrt2. \]
Следовательно, \[ \cos\angle MAH =\frac{2}{\sqrt5\sqrt2} =\boxed{\frac{2}{\sqrt{10}}} =\boxed{\frac{\sqrt{10}}5}. \]
