Реши все примеры

Краткий ответ

1. \(\boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)}\)

2. \(\boxed{x\in(-\infty;-1)\cup[4;+\infty)}\)

3. \(\boxed{x\in\{-3\}\cup(4;+\infty)}\)

4. \(\boxed{x\in(-5;0)\cup(0;1)\cup(1;4]}\)

5. \(\boxed{x\in(-\infty;-5)\cup(-4;4)\cup(5;+\infty)}\)

6. \(\boxed{x\in(-\infty;6)}\)

7. \(\boxed{x=-2}\)

8. \(\boxed{x\in(-\infty;-10)\cup(-2;5)\cup(10;+\infty)}\)

9. \(\boxed{x\in(-\infty;-2]\cup[13;+\infty)}\)

Решение

При решении дробных неравенств:

• нули знаменателя исключаются из ОДЗ;
• нули числителя включаются только при знаках \(\geq\) или \(\leq\);
• затем определяем знаки на промежутках.

1)

\[ \frac{x+2}{x-2}>0 \]

Критические точки: \(x=-2\) и \(x=2\).

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)} \]

---

2)

\[ \frac{4-x}{x+1}\leq0 \]

Критические точки:

\[ 4-x=0\Rightarrow x=4,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1. \]

Знак дроби отрицателен на промежутках \((-\infty;-1)\) и \((4;+\infty)\). Точка \(x=4\) включается:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-1)\cup[4;+\infty)} \]

---

3)

\[ \frac{(x+3)^2}{x-4}\geq0 \]

\[ (x+3)^2=0\Rightarrow x=-3,\qquad x\neq4. \]

Квадрат всегда неотрицателен. При \(x>4\) знаменатель положителен, поэтому дробь положительна. При \(x=-3\) дробь равна нулю:

\[ \boxed{x\in\{-3\}\cup(4;+\infty)} \]

---

4)

\[ \frac{(4-x)(x+2)^2}{(1-x)^4(x+5)^3x^2}\geq0 \]

ОДЗ:

\[ x\neq1,\qquad x\neq-5,\qquad x\neq0. \]

Критические точки:

\[ -5,\;-2,\;0,\;1,\;4. \]

Факторы \((x+2)^2\), \((1-x)^4\), \(x^2\) не меняют знак. Поэтому знак дроби определяется в основном выражением

\[ \frac{4-x}{x+5}. \]

Положительный знак получается при

\[ -5<x<4, \]

но точки \(0\) и \(1\) исключаются из ОДЗ. Точка \(x=4\) включается, так как дробь равна нулю:

\[ \boxed{x\in(-5;0)\cup(0;1)\cup(1;4]} \]

---

5)

\[ \frac{x^2-16}{x^2-25}>0 \]

Разложим на множители:

\[ \frac{(x-4)(x+4)}{(x-5)(x+5)}>0. \]

Критические точки:

\[ -5,\;-4,\;4,\;5. \]

Знаки чередуются:

\[ +,\;-,\;+, \;-,\;+. \]

Так как неравенство строгое, точки \(-4\) и \(4\) не включаются:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-5)\cup(-4;4)\cup(5;+\infty)} \]

---

6)

\[ \frac{x^2+9}{x-6}<0 \]

Числитель всегда положителен:

\[ x^2+9>0. \]

Дробь будет отрицательной, когда знаменатель отрицателен:

\[ x-6<0\Rightarrow x<6. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x\in(-\infty;6)} \]

---

7)

\[ \frac{x^2+4x+4}{x^2-6x+9}\leq0 \]

Разложим:

\[ \frac{(x+2)^2}{(x-3)^2}\leq0,\qquad x\neq3. \]

Дробь двух квадратов всегда неотрицательна. Она равна нулю только при

\[ x+2=0\Rightarrow x=-2. \]

Точка \(x=-2\) допустима:

\[ \boxed{x=-2} \]

---

8)

\[ \frac{x^2+12x+20}{-x^2+15x-50}<0 \]

Разложим на множители:

\[ \frac{(x+10)(x+2)}{-(x-5)(x-10)}<0. \]

Критические точки:

\[ -10,\;-2,\;5,\;10. \]

Знак дроби отрицателен на промежутках:

\[ (-\infty;-10),\qquad (-2;5),\qquad (10;+\infty). \]

Все критические точки исключаются:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-10)\cup(-2;5)\cup(10;+\infty)} \]

---

9)

\[ \frac{x^2-11x-26}{x^2+5x+100}\geq0 \]

Числитель:

\[ x^2-11x-26=(x-13)(x+2). \]

Знаменатель всегда положителен, поскольку

\[ D=5^2-4\cdot1\cdot100=-375<0, \]

а старший коэффициент положителен.

Значит, нужно решить:

\[ (x-13)(x+2)\geq0. \]

Получаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup[13;+\infty)} \]

Проверка: нули знаменателя во всех ответах исключены, а нули числителя включены только в нестрогих неравенствах.