Реши задание на изображении

На изображении 14 уравнений; нумерация — сверху вниз.

Краткий ответ

\[ \begin{array}{c|c} № & \text{Ответ} \\ \hline 1 & x=24\\ 2 & x=14\\ 3 & x=20\\ 4 & x=18\\ 5 & x=22\\ 6 & x=18\\ 7 & x=10\\ 8 & x=\frac12,\;-\frac16\\ 9 & x=\frac14,\;-1\\ 10 & x=\frac13,\;-\frac12\\ 11 & x=2,\;\frac{13}{4}\\ 12 & x=\frac32,\;\frac45\\ 13 & x=\frac32,\;\frac56\\ 14 & x=2,\;\frac23 \end{array} \]

Решение

Сначала учитываем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.

1–7. Перемножаем дроби крест-накрест

1. \(x\ne4\)

\[ 5(x-12)=3(x-4) \]

\[ 5x-60=3x-12,\qquad 2x=48 \]

\[ x=24. \]

2. \(x\ne8,\;6\)

\[ 6(x-6)=8(x-8) \]

\[ 6x-36=8x-64,\qquad x=14. \]

3. \(x\ne9\)

\[ 11(x-10)=10(x-9) \]

\[ 11x-110=10x-90,\qquad x=20. \]

4. \(x\ne9\)

\[ 11\cdot9=11(x-9) \]

\[ 99=11x-99,\qquad x=18. \]

5. \(x\ne6\)

\[ 16(x-11)=11(x-6) \]

\[ 16x-176=11x-66,\qquad x=22. \]

6. \(x\ne5,\;13\)

\[ 13(x-13)=5(x-5) \]

\[ 13x-169=5x-25,\qquad x=18. \]

7. \(x\ne11\)

\[ x-5=-5(x-11) \]

\[ x-5=-5x+55,\qquad 6x=60 \]

\[ x=10. \]

8–10. Замена \(t=\frac1x\)

8. \(x\ne0\)

\[ \frac1{x^2}+\frac4x-12=0 \]

Пусть \(t=\frac1x\). Тогда

\[ t^2+4t-12=0 \]

\[ (t+6)(t-2)=0. \]

Отсюда \(t=-6\) или \(t=2\), поэтому

\[ x=-\frac16 \quad\text{или}\quad x=\frac12. \]

\[ t^2-3t-4=0 \]

\[ (t-4)(t+1)=0. \]

\[ t=4\Rightarrow x=\frac14,\qquad t=-1\Rightarrow x=-1. \]

\[ t^2-t-6=0 \]

\[ (t-3)(t+2)=0. \]

\[ t=3\Rightarrow x=\frac13,\qquad t=-2\Rightarrow x=-\frac12. \]

11–14. Замена \(t=\frac1{x-a}\)

11. \(x\ne3\), \(t=\frac1{x-3}\)

\[ t^2-3t-4=0 \]

\[ (t-4)(t+1)=0. \]

\[ t=4\Rightarrow x=3+\frac14=\frac{13}{4}, \]

\[ t=-1\Rightarrow x=3-1=2. \]

12. \(x\ne1\), \(t=\frac1{x-1}\)

\[ t^2+3t-10=0 \]

\[ (t+5)(t-2)=0. \]

\[ t=2\Rightarrow x=1+\frac12=\frac32, \]

\[ t=-5\Rightarrow x=1-\frac15=\frac45. \]

\[ t^2+4t-12=0 \]

\[ (t+6)(t-2)=0. \]

\[ t=2\Rightarrow x=\frac32, \qquad t=-6\Rightarrow x=1-\frac16=\frac56. \]

\[ t^2+2t-3=0 \]

\[ (t+3)(t-1)=0. \]

\[ t=1\Rightarrow x=2, \qquad t=-3\Rightarrow x=1-\frac13=\frac23. \]

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ. Например, в №1:

\[ \frac{24-12}{24-4}=\frac{12}{20}=\frac35, \]

а в №8 при \(x=\frac12\):

\[ \frac1{(1/2)^2}+\frac4{1/2}-12=4+8-12=0. \]