Как решить номер 90 и 94 как нарисовать график ?

Краткий ответ

№ 90. \(y=\dfrac14x^2\)

а)

\[ \begin{aligned} x=-2{,}5&:\quad y=1{,}5625,\\ x=-1{,}5&:\quad y=0{,}5625,\\ x=3{,}5&:\quad y=3{,}0625. \end{aligned} \]

б)

\[ \begin{aligned} y=5&:\quad x=\pm2\sqrt5,\\ y=3&:\quad x=\pm2\sqrt3,\\ y=2&:\quad x=\pm2\sqrt2. \end{aligned} \]

в) Функция:

• убывает на \((-\infty;0]\);
• возрастает на \([0;+\infty)\).

№ 94

• \(y=-1{,}5x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вниз.
• \(y=0{,}8x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх.

---

Как строить график № 90

Функция имеет вид \(y=ax^2\), где \(a=\dfrac14>0\). Поэтому парабола направлена вверх и симметрична относительно оси \(Oy\).

Возьмём удобные значения \(x\):

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-4&-2&0&2&4\\ \hline y=\dfrac14x^2&4&1&0&1&4 \end{array} \]

Нанеси точки:

\[ (-4;4),\;(-2;1),\;(0;0),\;(2;1),\;(4;4), \]

затем плавно соедини их. Получится парабола с вершиной \(O(0;0)\).

Решение пункта а)

\[ y=\frac{x^2}{4} \]

При \(x=-2{,}5\):

\[ y=\frac{(-2{,}5)^2}{4}=\frac{6{,}25}{4}=1{,}5625. \]

При \(x=-1{,}5\):

\[ y=\frac{(-1{,}5)^2}{4}=\frac{2{,}25}{4}=0{,}5625. \]

При \(x=3{,}5\):

\[ y=\frac{(3{,}5)^2}{4}=\frac{12{,}25}{4}=3{,}0625. \]

Решение пункта б)

Выразим \(x\):

\[ y=\frac{x^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad x^2=4y. \]

Если \(y=5\):

\[ x^2=20,\qquad x=\pm\sqrt{20}=\pm2\sqrt5. \]

Если \(y=3\):

\[ x^2=12,\qquad x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3. \]

Если \(y=2\):

\[ x^2=8,\qquad x=\pm\sqrt8=\pm2\sqrt2. \]

Знак \(\pm\) появляется потому, что парабола симметрична относительно оси \(Oy\).

---

Как строить графики № 94

а) \(y=-1{,}5x^2\)

Коэффициент отрицательный, поэтому ветви направлены вниз:

\[ \text{форма графика — } \cap \]

Таблица точек:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=-1{,}5x^2&-6&-1{,}5&0&-1{,}5&-6 \end{array} \]

Нанеси точки:

\[ (-2;-6),\;(-1;-1{,}5),\;(0;0),\;(1;-1{,}5),\;(2;-6). \]

График расположен ниже оси \(Ox\), кроме вершины \(O(0;0)\).

Свойства:

• область определения: \(\mathbb R\);
• область значений: \((-\infty;0]\);
• вершина: \(O(0;0)\);
• ось симметрии: \(Oy\);
• возрастает на \((-\infty;0]\);
• убывает на \([0;+\infty)\);
• наибольшее значение — \(0\), при \(x=0\);
• \(y<0\) при \(x\ne0\).

б) \(y=0{,}8x^2\)

Коэффициент положительный, поэтому ветви направлены вверх:

\[ \text{форма графика — } \cup \]

Таблица точек:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=0{,}8x^2&3{,}2&0{,}8&0&0{,}8&3{,}2 \end{array} \]

Нанеси точки:

\[ (-2;3{,}2),\;(-1;0{,}8),\;(0;0),\;(1;0{,}8),\;(2;3{,}2). \]

График расположен выше оси \(Ox\), кроме вершины \(O(0;0)\).

Свойства:

• область определения: \(\mathbb R\);
• область значений: \([0;+\infty)\);
• вершина: \(O(0;0)\);
• ось симметрии: \(Oy\);
• убывает на \((-\infty;0]\);
• возрастает на \([0;+\infty)\);
• наименьшее значение — \(0\), при \(x=0\);
• \(y>0\) при \(x\ne0\).

Для сравнения: график \(y=-1{,}5x^2\) уже, чем \(y=x^2\), а график \(y=0{,}8x^2\) шире.