Реши задание на изображении

Краткий ответ для выражений на фото:

\[ \boxed{\text{а) }\frac{8}{(x-4)(x-2)}},\qquad x\ne4,\;2; \]

\[ \boxed{\text{б) }\frac{36y^2+1}{6y-1}},\qquad y\ne\frac16; \]

\[ \boxed{\text{в) }\frac{a+3b}{3a}},\qquad a\ne0,\;a\ne3b; \]

\[ \boxed{\text{г) }\frac1{2(x+2)}},\qquad x\ne0,\;2,\;-2. \]

Решение

а) Приводим дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{x}{x-4}-\frac{x+2}{x-2} = \frac{x(x-2)-(x+2)(x-4)}{(x-4)(x-2)}. \]

Раскрываем скобки:

\[ x(x-2)-(x+2)(x-4) =x^2-2x-(x^2-2x-8)=8. \]

Значит,

\[ \boxed{\frac{8}{(x-4)(x-2)}}. \]

б) Сначала объединим целые части:

\[ 6y+\frac{12y}{6y-1}-1 = (6y-1)+\frac{12y}{6y-1}. \]

Приводим к знаменателю \(6y-1\):

\[ \frac{(6y-1)^2+12y}{6y-1} = \frac{36y^2-12y+1+12y}{6y-1} = \boxed{\frac{36y^2+1}{6y-1}}. \]

в) Разложим знаменатели на множители:

\[ 3a-9b=3(a-3b),\qquad a^2-3ab=a(a-3b). \]

Тогда

\[ \frac{a}{3(a-3b)}-\frac{3b^2}{a(a-3b)} = \frac{a^2-9b^2}{3a(a-3b)}. \]

Разность квадратов:

\[ a^2-9b^2=(a-3b)(a+3b). \]

Сокращаем \(a-3b\):

\[ \boxed{\frac{a+3b}{3a}}. \]

Ограничения исходного выражения сохраняются:

\[ a\ne0,\qquad a\ne3b. \]

г) Разложим знаменатели:

\[ x^3-4x=x(x-2)(x+2),\qquad 4-2x=-2(x-2). \]

Тогда

\[ \frac{x^2}{x(x-2)(x+2)}+\frac1{-2(x-2)} = \frac{x}{(x-2)(x+2)}-\frac1{2(x-2)}. \]

Общий знаменатель:

\[ \frac{2x-(x+2)}{2(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{2(x-2)(x+2)} = \boxed{\frac1{2(x+2)}}. \]

Важно: после сокращения ограничения \(x\ne0,\;2,\;-2\) остаются.

Проверка: при \(x=1\) в пункте г исходное выражение равно

\[ -\frac13+\frac12=\frac16, \]

и полученная дробь также даёт

\[ \frac1{2(1+2)}=\frac16. \]