5

Краткий ответ

Для варианта № 6:

1. \(\displaystyle 4(a-b)\), \(a\ne b\).
2. \(\displaystyle -\frac{2a+b}{ab}\), \(a\ne0,\ b\ne0,\ 2a\ne b\).
3. \(\displaystyle \frac{b-5a}{a(b+5a)}\), \(a\ne0,\ b\ne5a,\ b\ne-5a\).
4. \(\displaystyle \frac{81a^6}{4b^4}\), \(b\ne0\).
5. \(\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)}6\), \(x\ne2,\ x\ne-3\).
6. \(\displaystyle \frac{a}{21b}\), \(b\ne0,\ a\ne3b\).

Решение

Главный принцип: разложить многочлены на множители, привести дроби к общему знаменателю и сократить одинаковые множители. Сокращать можно только с учётом ОДЗ — знаменатели исходных дробей не должны быть равны нулю.

1)

\[ \frac{(2a-2b)^2}{a-b} =\frac{[2(a-b)]^2}{a-b} =\frac{4(a-b)^2}{a-b} =4(a-b). \]

---

2)

Разложим знаменатели:

\[ 2a^2-ab=a(2a-b),\qquad 2ab-b^2=b(2a-b). \]

Тогда

\[ \frac{b}{a(2a-b)}-\frac{4a}{b(2a-b)} = \frac{b^2-4a^2}{ab(2a-b)}. \]

Разложим разность квадратов:

\[ \frac{(b-2a)(b+2a)}{ab(2a-b)} = -\frac{b+2a}{ab} = -\frac{2a+b}{ab}. \]

---

3)

\[ ab-5a^2=a(b-5a), \]

\[ b^2-25a^2=(b-5a)(b+5a). \]

Поэтому

\[ \frac{b}{a(b-5a)} -\frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)} \]

\[ = \frac{b(b+5a)-a(15b-25a)} {a(b-5a)(b+5a)}. \]

Упростим числитель:

\[ b^2+5ab-15ab+25a^2 =b^2-10ab+25a^2 =(b-5a)^2. \]

Тогда

\[ \frac{(b-5a)^2}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b-5a}{a(b+5a)}. \]

---

4)

При возведении дроби в квадрат возводим в квадрат числитель и знаменатель:

\[ \left(\frac{9a^3}{2b^2}\right)^2 = \frac{(9a^3)^2}{(2b^2)^2} = \frac{81a^6}{4b^4}. \]

---

5)

Разложим на множители:

\[ 2x-4=2(x-2), \]

\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]

\[ 3x+9=3(x+3). \]

Получаем:

\[ \frac{(x+3)^2}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{3(x+3)}. \]

Сокращаем \(x-2\) и один множитель \(x+3\):

\[ \frac{(x+3)(x+2)}6. \]

---

6)

Разложим на множители:

\[ a^2-3ab=a(a-3b), \]

\[ 7a-21b=7(a-3b). \]

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{a(a-3b)}{3b}:7(a-3b) = \frac{a(a-3b)}{3b\cdot7(a-3b)}. \]

Сокращаем \(a-3b\):

\[ \frac{a}{21b}. \]

Важно: условие \(a\ne3b\) сохраняется, потому что при \(a=3b\) исходный делитель равен нулю.

Проверка: все преобразования выполнены разложением на множители и сокращением ненулевых множителей, поэтому полученные ответы верны при указанных ограничениях.