4. Отрезок AD лежит в плоскости В. Отрезок ВС параллелен плоскости В. Точки М и N - середины отрезков АВ и CD соот-ветственно. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости В.…

Ответ: \(\boxed{MN\parallel\beta}\), где \(\beta\) — данная плоскость.

Схематичный рисунок

                         B──────────────C
                        /                \
                       /                  \
                      M                    N
                     /                      \
                    A······················D
                     \                    /
                      \__________________/
                       \      β          /
                        \________________/

Здесь \(M\) — середина \(AB\), а \(N\) — середина \(CD\). Рисунок схематичный, не в масштабе.

Доказательство

Так как \(M\) и \(N\) — середины отрезков, то

\[ \overrightarrow{MN} =\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right). \]

Действительно,

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\\ &=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} -\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}2\\ &=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right). \end{aligned} \]

Вектор \(\overrightarrow{AD}\) параллелен плоскости \(\beta\), поскольку \(AD\subset\beta\).
Вектор \(\overrightarrow{BC}\) также параллелен плоскости \(\beta\) по условию.

Сумма двух векторов, параллельных одной плоскости, тоже параллельна этой плоскости. Значит, направление прямой \(MN\) параллельно плоскости \(\beta\).

Следовательно,

\[ \boxed{MN\parallel\beta}. \]

Принцип: при переходе к серединам отрезков «складываются» направления \(AD\) и \(BC\), оба из которых параллельны плоскости \(\beta\).