Реши: С Дано, Найти и решение и чертёжом

Краткие ответы

1. \(\angle C=15^\circ\), наименьшая сторона — \(AB\).
2. Третья сторона \(7\) см, периметр \(P=15\) см.
3. \(\angle A=45^\circ\), \(BC=4\sqrt2\) см, \(AB=2(\sqrt6+\sqrt2)\) см.
4. Диагонали: \(14\) см и \(2\sqrt{129}\) см.
5. Если один острый угол равен \(\beta\), то биссектриса другого острого угла: \[ l=\frac{2c\sin\beta\cos\left(45^\circ-\frac{\beta}{2}\right)} {1+\sin\beta} =\frac{\sqrt2\,c\sin\beta}{\sqrt{1+\sin\beta}}. \]

Все чертежи схематичны и выполнены не в масштабе.

---

1. Наименьшая сторона треугольника

Дано

\[ \angle A=110^\circ,\qquad \angle B=55^\circ. \]

Найти

Наименьшую сторону треугольника \(ABC\).

Чертёж

              C
            15°
           /   \
          /     \
 A 110°  /_______\  B 55°
             AB

Решение

Сначала найдём третий угол:

\[ \angle C=180^\circ-\angle A-\angle B \]

\[ \angle C=180^\circ-110^\circ-55^\circ=15^\circ. \]

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего угла — меньшая сторона.

Самый маленький угол — \(\angle C=15^\circ\). Напротив него находится сторона \(AB\).

Ответ

\[ \boxed{AB\text{ — наименьшая сторона}.} \]

Причём:

\[ AB<AC<BC. \]

---

2. Периметр треугольника

Дано

\[ AB=3\text{ см},\qquad AC=5\text{ см}, \]

\[ \angle BAC=120^\circ. \]

Найти

\[ BC,\qquad P. \]

Чертёж

             A
           120°
           /  \
       3  /    \  5
         /      \
        B--------C
             x

Решение

По теореме косинусов:

\[ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos120^\circ. \]

Подставим значения:

\[ BC^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\left(-\frac12\right), \]

\[ BC^2=9+25+15=49. \]

\[ BC=7\text{ см}. \]

Теперь найдём периметр:

\[ P=AB+AC+BC, \]

\[ P=3+5+7=15\text{ см}. \]

Проверка: сторона \(BC=7\) см самая большая, так как лежит напротив угла \(120^\circ\).

Ответ

\[ \boxed{P=15\text{ см}.} \]

---

3. Решение треугольника \(ABC\)

Дано

\[ \angle B=30^\circ,\qquad \angle C=105^\circ, \]

\[ AC=4\text{ см}. \]

Найти

Все углы и стороны треугольника.

Чертёж

              C 105°
             /     \
       4 см /       \ BC
           /         \
      A 45°-----------B 30°
               AB

Решение

Найдём угол \(A\):

\[ \angle A=180^\circ-\angle B-\angle C, \]

\[ \angle A=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ. \]

По теореме синусов:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}. \]

Общий коэффициент равен:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{4}{\sin30^\circ} = \frac{4}{\frac12}=8. \]

Тогда

\[ BC=8\sin45^\circ =8\cdot\frac{\sqrt2}{2} =4\sqrt2\text{ см}. \]

Найдём сторону \(AB\):

\[ AB=8\sin105^\circ. \]

\[ \sin105^\circ = \sin(60^\circ+45^\circ) = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \]

Следовательно,

\[ AB=8\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =2(\sqrt6+\sqrt2)\text{ см}. \]

Проверка: \(105^\circ>45^\circ>30^\circ\), поэтому

\[ AB>BC>AC, \]

что совпадает с найденными значениями.

Ответ

\[ \boxed{\angle A=45^\circ,} \]

\[ \boxed{BC=4\sqrt2\text{ см},} \]

\[ \boxed{AB=2(\sqrt6+\sqrt2)\text{ см}.} \]

---

4. Диагонали параллелограмма

Дано

\[ AB=DC=16\text{ см}, \]

\[ AD=BC=10\text{ см}, \]

\[ \angle DAB=60^\circ. \]

Найти

Диагонали \(AC\) и \(BD\).

Чертёж

          D────────────C
         / ╲          ╱
        /   ╲      ╱
       /     ╳    /
      A──────────B

      AD=10 см, AB=16 см
      ∠DAB=60°

Решение

Рассмотрим треугольник \(ABD\). По теореме косинусов:

\[ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos60^\circ. \]

\[ BD^2=16^2+10^2-2\cdot16\cdot10\cdot\frac12, \]

\[ BD^2=256+100-160=196. \]

\[ BD=14\text{ см}. \]

В параллелограмме соседние углы supplementary:

\[ \angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]

Рассмотрим треугольник \(ADC\):

\[ AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cos120^\circ. \]

\[ AC^2=10^2+16^2-2\cdot10\cdot16\cdot\left(-\frac12\right), \]

\[ AC^2=100+256+160=516. \]

\[ AC=\sqrt{516}=2\sqrt{129}\text{ см}. \]

Ответ

\[ \boxed{BD=14\text{ см},\qquad AC=2\sqrt{129}\text{ см}.} \]

---

5. Биссектриса второго острого угла

Дано

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник:

\[ \angle C=90^\circ,\qquad AB=c, \]

\[ \angle B=\beta. \]

Найти

Биссектрису второго острого угла \(\angle A\).

Чертёж

             A
             |\
             | \
             |  \  AB=c
             |   \
             C----D----B
          ∠C=90°  AD — биссектриса
                       ∠B=β

Решение

Второй острый угол:

\[ \angle A=90^\circ-\beta. \]

Так как \(AB=c\) — гипотенуза, то

\[ AC=c\sin\beta. \]

Длина биссектрисы угла \(A\) вычисляется по формуле:

\[ l_A= \frac{2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\frac{\angle A}{2}} {AB+AC}. \]

Подставим значения:

\[ l_A= \frac{2\cdot c\cdot c\sin\beta\cdot \cos\left(\frac{90^\circ-\beta}{2}\right)} {c+c\sin\beta}. \]

Сократим на \(c\):

\[ l_A= \frac{2c\sin\beta\cos\left(45^\circ-\frac{\beta}{2}\right)} {1+\sin\beta}. \]

Или в упрощённом виде:

\[ \boxed{ l_A=\frac{\sqrt2\,c\sin\beta}{\sqrt{1+\sin\beta}} }. \]