Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(\bar x=1\), дисперсия \(D=20\).
- Дисперсия увеличится с \(\frac83\approx2{,}67\) до \(3368{,}75\).
- Средняя ошибка \(1{,}08\) с, размах \(8{,}2\) с, дисперсия \(8{,}3936\ \text{с}^2\). Сертификат часы не получат; по критерию средней ошибки регулировка не требуется.
- а) \(1400\); б) \(14\).
Используем формулу дисперсии: \[ D=\frac{(x_1-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}. \]
1. Набор чисел \(-2; -6; 2; 6; 5\)
Среднее значение: \[ \bar x=\frac{-2-6+2+6+5}{5}=\frac{5}{5}=1. \]
| Число | Отклонение от среднего | Квадрат отклонения |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-3\) | \(9\) |
| \(-6\) | \(-7\) | \(49\) |
| \(2\) | \(1\) | \(1\) |
| \(6\) | \(5\) | \(25\) |
| \(5\) | \(4\) | \(16\) |
\[ D=\frac{9+49+1+25+16}{5} =\frac{100}{5}=20. \]
Ответ: \(\boxed{\bar x=1,\quad D=20}\).
2. Добавление числа \(140\)
Исходный набор: \(4;6;8\).
Среднее: \[ \bar x=\frac{4+6+8}{3}=6. \]
Исходная дисперсия: \[ D_1=\frac{(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2}{3} =\frac{4+0+4}{3}=\frac83\approx2{,}67. \]
После добавления \(140\): \[ \bar x_2=\frac{4+6+8+140}{4}=39{,}5. \]
\[ D_2=\frac{(4-39{,}5)^2+(6-39{,}5)^2+(8-39{,}5)^2+(140-39{,}5)^2}{4} \] \[ D_2=\frac{1260{,}25+1122{,}25+992{,}25+10100{,}25}{4} =\frac{13475}{4}=3368{,}75. \]
Ответ: дисперсия резко увеличится: с \(2{,}67\) до \(\boxed{3368{,}75}\).
3. Испытание часов
Данные: \[ -1{,}1;\ -2{,}7;\ 0{,}8;\ 5{,}5;\ 2{,}9. \]
Средняя ошибка
\[ \bar x=\frac{-1{,}1-2{,}7+0{,}8+5{,}5+2{,}9}{5} =\frac{5{,}4}{5}=1{,}08\text{ с}. \]
| Ошибка, с | Отклонение от среднего | Квадрат отклонения |
|---|---|---|
| \(-1{,}1\) | \(-2{,}18\) | \(4{,}7524\) |
| \(-2{,}7\) | \(-3{,}78\) | \(14{,}2884\) |
| \(0{,}8\) | \(-0{,}28\) | \(0{,}0784\) |
| \(5{,}5\) | \(4{,}42\) | \(19{,}5364\) |
| \(2{,}9\) | \(1{,}82\) | \(3{,}3124\) |
Размах
\[ R=5{,}5-(-2{,}7)=8{,}2\text{ с}. \]
Дисперсия
\[ D=\frac{4{,}7524+14{,}2884+0{,}0784+19{,}5364+3{,}3124}{5} \] \[ D=\frac{41{,}968}{5}=8{,}3936\ \text{с}^2. \]
Проверка условий сертификата:
- \(8{,}2>4{,}5\), условие по размаху не выполнено;
- \(8{,}3936>3\), условие по дисперсии не выполнено;
- \(|1{,}08|<2\), поэтому по средней ошибке регулировка не требуется.
Ответ: часы не получат сертификат точности. По условию средней ошибки регулировка не требуется, но разброс показаний слишком велик.
4. Свойства дисперсии
Используем свойства: \[ D(kX)=k^2D(X),\qquad D(X+c)=D(X). \]
Дано: \[ D(5;11;2)=14. \]
а) \(50;110;20\)
\[ 50=10\cdot5,\quad110=10\cdot11,\quad20=10\cdot2. \]
Значит: \[ D(50;110;20)=10^2\cdot14=100\cdot14=\boxed{1400}. \]
б) \(15;21;12\)
\[ 15=5+10,\quad21=11+10,\quad12=2+10. \]
При прибавлении одного и того же числа дисперсия не изменяется:
\[ D(15;21;12)=D(5;11;2)=\boxed{14}. \]
