Привет, совершено не смыслю и не понимаю дроби. Помоги и объясни всё подробно
Краткий ответ
Сравните числа:
а) \(\dfrac{7}{16}<\dfrac{11}{24}\);
б) \(\dfrac{5}{11}>\dfrac{5}{12}\);
в) \(\dfrac{46}{45}>0{,}81\).Значения выражений:
а) \(\dfrac{3}{40}\);
б) \(5\dfrac{7}{13}\);
в) \(4\dfrac{7}{12}\);
г) \(9\dfrac{11}{60}\);
д) \(2\dfrac{13}{18}\).Фермер собрал \(4\dfrac{23}{24}\) т зерна.
Уравнения:
а) \(a=2\dfrac{23}{36}\);
б) \(c=6{,}83\).
Что нужно знать о дробях
В дроби
\[ \frac{a}{b} \]
число сверху \(a\) — числитель, а число снизу \(b\) — знаменатель.
Например, в дроби \(\dfrac{3}{5}\):
- знаменатель \(5\) показывает, на сколько равных частей разделили целое;
- числитель \(3\) показывает, сколько таких частей взяли.
Смешанное число, например \(2\dfrac{3}{5}\), означает:
\[ 2\dfrac{3}{5}=2+\frac35. \]
Главное правило
Чтобы складывать или вычитать дроби, их нужно привести к общему знаменателю.
Например:
\[ \frac14+\frac16. \]
Общий знаменатель — \(12\):
\[ \frac14=\frac3{12},\qquad \frac16=\frac2{12}. \]
Поэтому
\[ \frac14+\frac16=\frac3{12}+\frac2{12}=\frac5{12}. \]
1. Сравнение чисел
а) \(\dfrac{7}{16}\) и \(\dfrac{11}{24}\)
Общий знаменатель для \(16\) и \(24\) — \(48\).
\[ \frac{7}{16}=\frac{21}{48},\qquad \frac{11}{24}=\frac{22}{48}. \]
Теперь знаменатели одинаковые, поэтому сравниваем числители:
\[ 21<22. \]
Значит,
\[ \boxed{\frac{7}{16}<\frac{11}{24}}. \]
б) \(\dfrac{5}{11}\) и \(\dfrac{5}{12}\)
Числители одинаковые. Если числители положительных дробей одинаковы, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше:
\[ 11<12. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\frac{5}{11}>\frac{5}{12}}. \]
Можно проверить перекрёстным умножением:
\[ 5\cdot12=60,\qquad 5\cdot11=55, \]
а \(60>55\).
в) \(\dfrac{46}{45}\) и \(0{,}81\)
\[ \frac{46}{45}=\frac{45+1}{45}=1+\frac1{45}>1. \]
А
\[ 0{,}81<1. \]
Значит,
\[ \boxed{\frac{46}{45}>0{,}81}. \]
2. Найдите значение выражения
а) \(\dfrac{17}{60}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{40}\)
Общий знаменатель для \(60\), \(30\) и \(40\) — \(120\).
\[ \frac{17}{60}=\frac{34}{120}, \qquad \frac{7}{30}=\frac{28}{120}, \qquad \frac{1}{40}=\frac{3}{120}. \]
Подставляем:
\[ \frac{34}{120}-\frac{28}{120}+\frac{3}{120} = \frac{34-28+3}{120} = \frac9{120}. \]
Сократим дробь на \(3\):
\[ \frac9{120}=\frac3{40}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac3{40}}. \]
б) \(10-4\dfrac{6}{13}\)
Сначала вычтем целую часть:
\[ 10-4\dfrac6{13} = (10-4)-\frac6{13} = 6-\frac6{13}. \]
Представим \(6\) как \(5+\dfrac{13}{13}\):
\[ 6-\frac6{13} = 5+\frac{13}{13}-\frac6{13} = 5+\frac7{13}. \]
Ответ:
\[ \boxed{5\dfrac7{13}}. \]
в) \(1\dfrac34+2\dfrac56\)
Складываем целые части:
\[ 1+2=3. \]
Теперь складываем дробные части. Общий знаменатель для \(4\) и \(6\) — \(12\):
\[ \frac34=\frac9{12},\qquad \frac56=\frac{10}{12}. \]
Тогда
\[ 1\dfrac34+2\dfrac56 = 3+\frac9{12}+\frac{10}{12} = 3+\frac{19}{12}. \]
Дробь \(\dfrac{19}{12}\) выделяем в смешанное число:
\[ \frac{19}{12}=1\frac7{12}. \]
Получаем:
\[ 3+1\frac7{12} = \boxed{4\dfrac7{12}}. \]
г) \(3\dfrac4{15}+5\dfrac{11}{12}\)
Целые части:
\[ 3+5=8. \]
Общий знаменатель для \(15\) и \(12\) — \(60\):
\[ \frac4{15}=\frac{16}{60}, \qquad \frac{11}{12}=\frac{55}{60}. \]
Складываем:
\[ 8+\frac{16}{60}+\frac{55}{60} = 8+\frac{71}{60}. \]
\[ \frac{71}{60}=1\frac{11}{60}. \]
Значит,
\[ 8+1\frac{11}{60} = \boxed{9\dfrac{11}{60}}. \]
д) \(6\dfrac16-3\dfrac49\)
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
\[ 6\dfrac16=\frac{6\cdot6+1}{6}=\frac{37}{6}, \]
\[ 3\dfrac49=\frac{3\cdot9+4}{9}=\frac{31}{9}. \]
Общий знаменатель для \(6\) и \(9\) — \(18\):
\[ \frac{37}{6}=\frac{111}{18}, \qquad \frac{31}{9}=\frac{62}{18}. \]
Вычитаем:
\[ \frac{111}{18}-\frac{62}{18} = \frac{49}{18}. \]
Выделяем целую часть:
\[ \frac{49}{18}=2\frac{13}{18}. \]
Ответ:
\[ \boxed{2\dfrac{13}{18}}. \]
3. Задача про фермера
Фермер планировал собрать:
\[ 3\dfrac38\text{ т пшеницы} \]
и
\[ 2\dfrac56\text{ т гречихи}. \]
Сначала найдём, сколько тонн он планировал собрать всего.
Общий знаменатель для \(8\) и \(6\) — \(24\):
\[ 3\dfrac38=3\dfrac9{24}, \qquad 2\dfrac56=2\dfrac{20}{24}. \]
Складываем:
\[ 3\dfrac9{24}+2\dfrac{20}{24} = 5\dfrac{29}{24}. \]
Так как
\[ \frac{29}{24}=1\frac5{24}, \]
то
\[ 5\dfrac{29}{24}=6\dfrac5{24}. \]
Планировалось собрать:
\[ 6\dfrac5{24}\text{ т}. \]
Из-за засухи фермер собрал на
\[ 1\dfrac14\text{ т} \]
меньше. Приведём эту дробь к знаменателю \(24\):
\[ 1\dfrac14=1\dfrac6{24}. \]
Теперь вычитаем:
\[ 6\dfrac5{24}-1\dfrac6{24}. \]
Так как \(5/24<6/24\), занимаем одну целую:
\[ 6\dfrac5{24}=5\dfrac{29}{24}. \]
Тогда
\[ 5\dfrac{29}{24}-1\dfrac6{24} = 4\dfrac{23}{24}. \]
Ответ:
\[ \boxed{4\dfrac{23}{24}\text{ т}}. \]
Проверка:
\[ 4\dfrac{23}{24}+1\dfrac14 = 4\dfrac{23}{24}+1\dfrac6{24} = 6\dfrac5{24}, \]
то есть получили первоначально запланированное количество.
4. Решите уравнения
а) \(a+3\dfrac79=6\dfrac5{12}\)
Чтобы найти \(a\), вычтем \(3\dfrac79\) из обеих частей:
\[ a=6\dfrac5{12}-3\dfrac79. \]
Общий знаменатель для \(12\) и \(9\) — \(36\):
\[ 6\dfrac5{12}=6\dfrac{15}{36}, \qquad 3\dfrac79=3\dfrac{28}{36}. \]
Так как \(15<28\), занимаем одну целую:
\[ 6\dfrac{15}{36}=5\dfrac{51}{36}. \]
Теперь вычитаем:
\[ 5\dfrac{51}{36}-3\dfrac{28}{36} = 2\dfrac{23}{36}. \]
Ответ:
\[ \boxed{a=2\dfrac{23}{36}}. \]
Проверка:
\[ 2\dfrac{23}{36}+3\dfrac79 = 2\dfrac{23}{36}+3\dfrac{28}{36} = 5\dfrac{51}{36} = 6\dfrac{15}{36} = 6\dfrac5{12}. \]
б) \(2{,}75(c-5{,}03)=4{,}95\)
Сначала разделим обе части на \(2{,}75\):
\[ c-5{,}03=\frac{4{,}95}{2{,}75}. \]
Уберём запятые, умножив числитель и знаменатель на \(100\):
\[ \frac{4{,}95}{2{,}75} = \frac{495}{275} = \frac95 = 1{,}8. \]
Значит,
\[ c-5{,}03=1{,}8. \]
Прибавим \(5{,}03\):
\[ c=5{,}03+1{,}8=6{,}83. \]
Ответ:
\[ \boxed{c=6{,}83}. \]
Проверка:
\[ 2{,}75(6{,}83-5{,}03) = 2{,}75\cdot1{,}8 = 4{,}95. \]
Алгоритм для похожих заданий
- При сравнении дробей приводи их к общему знаменателю или используй перекрёстное умножение.
- При сложении и вычитании сначала находи общий знаменатель.
- Смешанные числа можно складывать по частям или переводить в неправильные дроби.
- В уравнениях используй обратные действия: сложению соответствует вычитание, умножению — деление.
