Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. 1–1. \(ABCD\) — трапеция, точнее прямоугольная трапеция.
   1–2. Изобразить ромб: \(AB=BC=CD=DA\).
   1–3. Построить трапецию \(MNKL\), где \(MN\parallel KL\) и \(\angle L=90^\circ\). Точка \(P\) симметрична точке \(K\) относительно прямой \(ML\).

2. \(ABCD\) — прямоугольник.

3. \(\angle COD=90^\circ,\quad \angle OCD=\angle ODC=45^\circ.\)

4. Да, является параллелограммом.

5. \(\boxed{KP=12\text{ см}}\).

Дополнительное задание: диагональ, лежащая против угла \(60^\circ\), равна высоте, проведённой к меньшей стороне параллелограмма.

---

Ключевые шаги

1–1 и 1–3

У трапеции одна пара противоположных сторон параллельна. На рисунке \(AD\parallel BC\), поэтому это трапеция. Так как один угол прямой, она прямоугольная.

Для построения трапеции из пункта 1–3 можно сделать так:

M────────N
│         \
L──────────K

Здесь \(MN\parallel KL\), а \(LM\perp KL\), поэтому \(\angle L=90^\circ\).

Чтобы построить точку \(P\), симметричную \(K\) относительно \(ML\):

1. Из точки \(K\) провести перпендикуляр к \(ML\).
2. Пусть он пересечёт \(ML\) в точке \(H\).
3. На продолжении \(KH\) за точку \(H\) отложить \(HP=HK\).

Тогда \(H\) — середина \(KP\), а \(ML\) — серединный перпендикуляр к \(KP\).

2

Диагонали параллелограмма равны. По признаку параллелограмма это означает, что он является прямоугольником.

3

В квадрате диагонали:

• перпендикулярны;
• точкой пересечения делятся пополам.

Значит, \(OC\perp OD\), поэтому \(\angle COD=90^\circ\). Кроме того, \(OC=OD\), поэтому треугольник \(COD\) равнобедренный:

\[ \angle OCD=\angle ODC= \frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ. \]

4

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Условие о перпендикулярности диагоналей для этого вывода даже не обязательно.

5

Так как \(MN\parallel KP\), то \(ME\parallel KP\). Поскольку \(KE\) — биссектриса угла \(MKP\),

\[ \angle MKE=\angle EKP. \]

Из-за параллельности \(ME\parallel KP\):

\[ \angle MEK=\angle EKP. \]

Следовательно,

\[ \angle MKE=\angle MEK, \]

поэтому треугольник \(KME\) равнобедренный:

\[ KM=ME=8\text{ см}. \]

Периметр параллелограмма:

\[ 2(KM+KP)=40. \]

Подставим:

\[ 2(8+KP)=40, \]

\[ 8+KP=20, \]

\[ \boxed{KP=12\text{ см}}. \]

Проверка:

\[ 2(8+12)=40\text{ см}. \]

Дополнительное задание

Пусть меньшая сторона равна \(b\), тогда большая сторона равна \(2b\). Диагональ \(d\), лежащая против угла \(60^\circ\), по теореме косинусов:

\[ d^2=(2b)^2+b^2-2\cdot2b\cdot b\cos60^\circ. \]

Так как \(\cos60^\circ=\frac12\),

\[ d^2=4b^2+b^2-2b^2=3b^2, \]

\[ d=\sqrt3b. \]

Высота к меньшей стороне:

\[ h=2b\sin60^\circ =2b\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\sqrt3b. \]

Значит,

\[ \boxed{d=h}. \]

То есть эта диагональ равна большей высоте параллелограмма.