Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(\boxed{32^\circ}\)
2. \(\boxed{70^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ,\ 110^\circ}\)
3. \(\boxed{65^\circ}\) — как записано в условии.
4. \(\boxed{105^\circ,\ 105^\circ,\ 75^\circ,\ 75^\circ}\)
5. \(\boxed{12\text{ см и }18\text{ см}}\)
6. а) \(AM\) — биссектриса \(\angle BAD\); б) \(\boxed{44\text{ см}}\).

Решение

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OM=ON\). Треугольник \(MON\) равнобедренный:

\[ \angle OMN=\angle MNO= \frac{180^\circ-64^\circ}{2}=58^\circ. \]

Так как \(\angle NMP=90^\circ\), то

\[ \angle OMP=90^\circ-58^\circ=\boxed{32^\circ}. \]

2. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Если один угол равен \(70^\circ\), то соседний с ним угол:

\[ 180^\circ-70^\circ=110^\circ. \]

Следовательно, углы трапеции:

\[ \boxed{70^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ,\ 110^\circ}. \]

3. Углы \(\angle BOA\) и \(\angle AOB\) имеют одну и ту же вершину \(O\) и образованы теми же лучами \(OA\) и \(OB\). Поэтому это один и тот же угол:

\[ \boxed{\angle BOA=65^\circ}. \]

В условии, вероятно, есть опечатка, поскольку данные о прямоугольнике здесь не используются.

4. Углы при меньшем основании равны. Пусть каждый из них равен \(x\):

\[ 2x=210^\circ,\qquad x=105^\circ. \]

Соседние углы трапеции в сумме дают \(180^\circ\):

\[ 180^\circ-105^\circ=75^\circ. \]

Итак, углы трапеции:

\[ \boxed{105^\circ,\ 105^\circ,\ 75^\circ,\ 75^\circ}. \]

5. Пусть большая сторона параллелограмма равна \(x\) см, тогда меньшая — \(x-6\) см.

\[ 2(x+x-6)=60, \]

\[ 4x-12=60,\qquad 4x=72,\qquad x=18. \]

Меньшая сторона:

\[ 18-6=12\text{ см}. \]

Проверка:

\[ 2(18+12)=60\text{ см}. \]

Ответ: \(\boxed{12\text{ см и }18\text{ см}}\).

6а. Так как \(AB=BM\), треугольник \(ABM\) равнобедренный, поэтому

\[ \angle BAM=\angle AMB. \]

В параллелограмме \(AD\parallel BC\), а \(BM\) лежит на \(BC\), значит \(BM\parallel AD\). Поэтому

\[ \angle AMB=\angle MAD. \]

Следовательно,

\[ \angle BAM=\angle MAD, \]

то есть \(AM\) — биссектриса угла \(BAD\).

6б. В параллелограмме противоположные стороны равны:

\[ AB=CD=8\text{ см}. \]

По условию \(AB=BM\), значит

\[ BM=8\text{ см}. \]

Тогда

\[ BC=BM+MC=8+6=14\text{ см}. \]

Следовательно,

\[ AD=BC=14\text{ см}. \]

Периметр:

\[ P=2(AB+AD)=2(8+14)=\boxed{44\text{ см}}. \]