Реши задание на изображении

Краткий ответ: в отдельные поля нужно записать \(4\) и \(6\).

Преобразуем дробь: \[ \frac{1}{y+\frac1z}=\frac{z}{yz+1}. \]

Так как \(yz>0\), числа \(y\) и \(z\) имеют одинаковый знак.

1. \(y>0,\ z>0\)

Тогда \[ 0<\frac{z}{yz+1}<1. \] Поэтому \[ \frac83-1<x<\frac83, \] а целое положительное \(x=2\).

Подставим: \[ \frac{z}{yz+1}=\frac23. \] \[ 3z=2yz+2, \qquad z(3-2y)=2. \] При положительных \(y,z\) получаем: \[ y=1,\qquad z=2. \] Тогда \[ xyz=2\cdot1\cdot2=4. \]

2. \(y<0,\ z<0\)

В этом случае \[ -1<\frac{z}{yz+1}<0. \] Значит, \[ \frac83<x<\frac{11}3, \] откуда \(x=3\).

Пусть \(y=-a,\ z=-b\), где \(a,b>0\). Тогда: \[ -\frac{b}{ab+1}=-\frac13, \] \[ 3b=ab+1, \qquad b(3-a)=1. \] Следовательно, \[ b=1,\qquad a=2, \] то есть \(y=-2,\ z=-1\).

Тогда \[ xyz=3\cdot(-2)\cdot(-1)=6. \]

Проверка: \[ 2+\frac1{1+\frac12}=\frac83,\qquad 3+\frac1{-2+\frac1{-1}}=\frac83. \]

Ответ: \(\boxed{4;\ 6}\).