Реши задание на изображении
Краткий ответ
Для функции
\[ y=2x^4+\frac83x^3 \] область определения: \(\mathbb R\).
Функция убывает на \((-\infty;-1)\), возрастает на \((-1;+\infty)\).
Минимум: \[ y_{\min}=-\frac23 \quad \text{при }x=-1. \] Нули функции: \(x=-\frac43\) и \(x=0\).Для функции
\[ y=4x+\frac9x,\qquad x\in[0{,}5;4], \] \[ \boxed{y_{\max}=20\text{ при }x=0{,}5},\qquad \boxed{y_{\min}=12\text{ при }x=1{,}5}. \]
1. Исследование функции и построение графика
Дана функция: \[ f(x)=2x^4+\frac83x^3. \]
Область определения
Это многочлен, поэтому \[ D(f)=\mathbb R. \]
Производная
\[ f'(x)=8x^3+8x^2=8x^2(x+1). \]
Критические точки: \[ 8x^2(x+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1,\;x=0. \]
Таблица знаков производной:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-1)&-1&(-1;0)&0&(0;+\infty)\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&+ \end{array} \]
Следовательно:
- функция убывает на \((-\infty;-1)\);
- функция возрастает на \((-1;+\infty)\).
В точке \(x=-1\) производная меняет знак с «минуса» на «плюс», поэтому это точка минимума:
\[ f(-1)=2-\frac83=-\frac23. \]
Так как \[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty, \] это наименьшее значение функции на всей числовой прямой. Наибольшего значения нет.
Точки пересечения с осями
Разложим функцию на множители:
\[ f(x)=2x^4+\frac83x^3 =2x^3\left(x+\frac43\right). \]
Нули функции:
\[ 2x^3\left(x+\frac43\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\qquad x=-\frac43. \]
Точки пересечения с осью \(Ox\):
\[ \left(-\frac43;0\right),\qquad (0;0). \]
Дополнительные точки для графика
\[ f\left(-\frac23\right)=-\frac{32}{81}. \]
Основные точки:
\[ \left(-\frac43;0\right),\quad \left(-1;-\frac23\right),\quad \left(-\frac23;-\frac{32}{81}\right),\quad (0;0). \]
График идёт сверху вниз до точки минимума \(\left(-1;-\frac23\right)\), затем возрастает, проходит через начало координат и уходит вверх.
Для более точного построения можно найти вторую производную:
\[ f''(x)=24x^2+16x=8x(3x+2). \]
Точки перегиба:
\[ x=-\frac23,\qquad x=0. \]
2. Наибольшее и наименьшее значение
\[ g(x)=4x+\frac9x,\qquad x\in[0{,}5;4]. \]
На отрезке нужно проверить концы отрезка и критические точки внутри него.
Производная
\[ g'(x)=4-\frac9{x^2}. \]
Найдём критическую точку:
\[ 4-\frac9{x^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2=9 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac32. \]
На отрезке \([0{,}5;4]\) лежит только
\[ x=\frac32. \]
Значения функции:
\[ g(0{,}5)=4\cdot0{,}5+\frac9{0{,}5} =2+18=20; \]
\[ g\left(\frac32\right) =4\cdot\frac32+\frac9{3/2} =6+6=12; \]
\[ g(4)=4\cdot4+\frac94 =16+\frac94 =\frac{73}{4}=18{,}25. \]
Сравниваем:
\[ 12<18{,}25<20. \]
Следовательно,
\[ \boxed{y_{\min}=12\text{ при }x=\frac32}, \]
\[ \boxed{y_{\max}=20\text{ при }x=0{,}5}. \]
