2.20. 2.24 2.36 2.37 2.38
Исследование векторного базиса
Мне нужно упомянуть одномерный базис в множестве коллинеарных векторов, возможно, с использованием координат. Для векторов e1(-1, 2), e2(2, 1) и a(0, -2) я должен подтвердить, является ли B=(e1,e2) базисом в множестве векторов плоскости. Мне нужно построить эти векторы из начала координат до их координат и найти коэффициенты x и y, такие что x(-1,2) + y(2,1) равно (0,-2). Можно составить уравнения -x + 2y = 0 и 2x + y = -2.
Рассмотрение математической задачи
Итак, мне нужно определить состояние уравнения, вероятно, ожидается что-то вроде «3p - 4q - 3r - 2s = 0». Думаю, следует привести именно это. Затем я хочу получить значение около 2.24, тщательно вычислив определитель. Мне кажется важным действовать пошагово, чтобы убедиться, что всё правильно сходится. Давайте убедимся, что я точен в каждом вычислении!
Построение векторов на плоскости
Я думаю о том, как использовать координаты на декартовой плоскости для этой задачи, особенно поскольку в условии требуется «построить заданные векторы», то есть изобразить данные векторы. Я помещу начальную точку в O и отмечу конечные точки. Можно также добавить простую ASCII-схему. Главное состоит в том, что определитель показывает: векторы линейно независимы в 2D. Итак, я построю стрелки к точкам (-1,2), (2,1) и (0,-2) в стандартной системе координат.
Разбор уравнений для векторов
Я рассматриваю текст о линейной зависимости четырёх некомпланарных векторов: p=a+b, q=b-c, r=a-b+c и s=b+1/2 c. Кажется странным, что четыре вектора в 3D всегда были бы зависимыми, исходя из описания. Возможно, имеется в виду, что a, b и c некомпланарны. Из контекста следует, что мне нужно исследовать взаимосвязи между этими четырьмя векторами, особенно поскольку геометрически четыре вектора в трёхмерном пространстве могут считаться некомпланарными.
Проверка уравнений
Я сосредоточен на проверке уравнений и попытке разобраться в них. Мне нужно внимательно работать с числом 2.38 и использовать матрицу для его решения. Всё сводится к систематическому подходу, чтобы понять, с чем я имею дело. Давайте убедимся, что математика верна и я двигаюсь в правильном направлении. Я хочу тщательно во всём разобраться и убедиться, что рассмотрел все возможности.
Краткие ответы
- 2.20: \(\boxed{-3\mathbf p+4\mathbf q+3\mathbf r+2\mathbf s=\mathbf0}\).
- 2.24: \(\boxed{\lambda=1,\,-2}\).
- 2.36: \(\mathbf a=-2\mathbf e\), координата в базисе \(\mathcal B=(\mathbf e)\): \(\boxed{(-2)}\).
- 2.37: \(\mathcal B=(\mathbf e_1,\mathbf e_2)\) — базис;
\[ [\mathbf a]_{\mathcal B}=\left(-\frac45,-\frac25\right),\qquad \mathbf a=-\frac45\mathbf e_1-\frac25\mathbf e_2. \] - 2.38: \(\mathcal B=(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)\) — базис;
\[ [\mathbf a]_{\mathcal B}=(-2,1,-1),\qquad \mathbf a=-2\mathbf e_1+\mathbf e_2-\mathbf e_3. \]
Ключевые шаги
2.20
Подставим данные в предполагаемую зависимость:
\[ \begin{aligned} -3\mathbf p+4\mathbf q+3\mathbf r+2\mathbf s ={}&-3(\mathbf a+\mathbf b)+4(\mathbf b-\mathbf c)\\ &+3(\mathbf a-\mathbf b+\mathbf c) +2\left(\mathbf b+\frac12\mathbf c\right). \end{aligned} \]
Собираем коэффициенты при \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\):
\[ (-3+3)\mathbf a+(-3+4-3+2)\mathbf b+ (-4+3+1)\mathbf c=\mathbf0. \]
Следовательно,
\[ \boxed{-3\mathbf p+4\mathbf q+3\mathbf r+2\mathbf s=\mathbf0}. \]
2.24
Так как \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\) некомпланарны, они линейно независимы. Три заданных вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель их координат равен нулю:
\[ \begin{vmatrix} \lambda&1&1\\ 1&\lambda&1\\ 1&1&\lambda \end{vmatrix}=0. \]
Вычислим:
\[ \lambda^3-3\lambda+2=0, \]
\[ \lambda^3-3\lambda+2=(\lambda-1)^2(\lambda+2). \]
Отсюда
\[ \boxed{\lambda=1\quad\text{или}\quad \lambda=-2}. \]
Проверка:
- при \(\lambda=1\) все три вектора равны \(\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c\);
- при \(\lambda=-2\) их сумма равна нулю.
2.36
Даны
\[ \mathbf e=\left(-1,1,\frac12\right),\qquad \mathbf a=(2,-2,-1). \]
Умножим \(\mathbf e\) на \(-2\):
\[ -2\mathbf e =-2\left(-1,1,\frac12\right) =(2,-2,-1)=\mathbf a. \]
Значит, векторы коллинеарны, а разложение по базису \(\mathcal B=(\mathbf e)\) имеет вид
\[ \boxed{\mathbf a=-2\mathbf e}. \]
Координата вектора \(\mathbf a\) в этом базисе — \(\boxed{-2}\).
2.37
\[ \mathbf e_1=(-1,2),\qquad \mathbf e_2=(2,1). \]
Проверим линейную независимость:
\[ \det \begin{pmatrix} -1&2\\ 2&1 \end{pmatrix} =-1-4=-5\ne0. \]
Следовательно, \(\mathbf e_1,\mathbf e_2\) линейно независимы и образуют базис плоскости.
Для построения векторов из начала координат \(O\) нужно провести стрелки к точкам:
\[ \mathbf e_1:\ (-1,2),\qquad \mathbf e_2:\ (2,1),\qquad \mathbf a:\ (0,-2). \]
Ищем числа \(x,y\), для которых
\[ \mathbf a=x\mathbf e_1+y\mathbf e_2. \]
Получаем систему:
\[ x(-1,2)+y(2,1)=(0,-2), \]
\[ \begin{cases} -x+2y=0,\\ 2x+y=-2. \end{cases} \]
Из первого уравнения \(x=2y\). Тогда
\[ 4y+y=-2,\qquad y=-\frac25, \]
\[ x=2y=-\frac45. \]
Поэтому
\[ \boxed{\mathbf a=-\frac45\mathbf e_1-\frac25\mathbf e_2}. \]
Проверка:
\[ -\frac45(-1,2)-\frac25(2,1) =(0,-2)=\mathbf a. \]
2.38
Даны
\[ \mathbf e_1=(1,0,0),\quad \mathbf e_2=(1,1,0),\quad \mathbf e_3=(1,1,1). \]
Проверим определитель:
\[ \det \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}=1\ne0. \]
Следовательно, эти три вектора линейно независимы и образуют базис пространства.
Вектор
\[ \mathbf a=-2\mathbf i-\mathbf k=(-2,0,-1). \]
Пусть
\[ \mathbf a=x\mathbf e_1+y\mathbf e_2+z\mathbf e_3. \]
Тогда
\[ x(1,0,0)+y(1,1,0)+z(1,1,1)=(-2,0,-1), \]
откуда
\[ \begin{cases} x+y+z=-2,\\ y+z=0,\\ z=-1. \end{cases} \]
Следовательно,
\[ z=-1,\qquad y=1,\qquad x=-2. \]
Поэтому
\[ \boxed{[\mathbf a]_{\mathcal B}=(-2,1,-1)} \]
и
\[ \boxed{\mathbf a=-2\mathbf e_1+\mathbf e_2-\mathbf e_3}. \]
Проверка:
\[ -2(1,0,0)+(1,1,0)-(1,1,1)=(-2,0,-1). \]
